1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
明目标、知重点
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．
2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
导数的运算法则：设两个函数分别为f(x)和g(x)
(1)f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
(2)f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(3)]′＝(g(x)≠0)．
情境导学]
前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求？正是本节要研究的问题．
探究点一 导数的运算法则
思考1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？
答 利用导数的运算法则．
思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？
答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及′＝的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；
(5)要注意区分参数与变量，例如a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x3－2x＋3；
(2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝3x－lg x.
解 (1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2.
(2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1
∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.
(3)函数y＝3x－lg x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg x的差．由导数公式表分别得出
f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝，
利用函数差的求导法则可得
(3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－.
反思与感悟 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)f(x)＝2－2sin2.
解 (1)∵y＝＝x2＋x3＋x4，
∴y′＝(x2)′＋(x3)′＋(x4)′＝2x＋3x2＋4x3.
(2)∵f(x)＝2－2sin2＝1＋cos x，
∴f′(x)＝－sin x.
例2 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x·tan x；
(2)f(x)＝.
解 (1)f′(x)＝(x·tan x)′＝()′
＝
＝＝.
(2)∵f(x)＝＝＝1－，
∴f′(x)＝(1－)′＝(－)′
＝－＝.
跟踪训练2 求f(x)＝的导数．
解 ∵f(x)＝，
∴f′(x)＝
＝.
探究点二 导数的应用
例2 (1)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________________．
答案 3x－y＋1＝0
解析 y′＝ex＋xex＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k＝e0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y－1＝3x，即3x－y＋1＝0.
(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________．
答案 (－2,15)
解析 设P(x0，y0)(x0<0)，由题意知，y′|x＝x0＝3x－10＝2，
∴x＝4.∴x0＝－2，∴y0＝15.
∴P点的坐标为(－2,15)．
(3)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时速度．
解 ∵s(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2，
∴s′(t)＝－＋2·＋4t，
∴s′(3)＝－＋＋12＝，
即物体在t＝3 s时的瞬时速度为 m/s.
反思与感悟 本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，即k＝y′|x＝x0＝f′(x0)；瞬时速度是位移函数s(t)对时间t的导数，即v＝s′|t＝t0.
跟踪训练2 (1)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 B
解析 y′＝
＝，
故y′|x＝＝，
∴曲线在点M处的切线的斜率为.
(2)设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b、c的值．
解 由题意得，f′(x)＝x2－ax＋b，
∴f′(0)＝b＝0.
由切点P(0，f(0))既在曲线f(x)＝x3－x2＋bx＋c上又在切线y＝1上知
即c＝1.
综上所述，b＝0，c＝1.
1．设y＝－2exsin x，则y′等于( )
A．－2excos x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
答案 D
解析 y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．
2．函数y＝的导数是( )．
A. B.
C. D.
答案 C
解析 y′＝′＝
＝.
3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x，
∴f′(－1)＝3a－6＝4，
∴a＝.
4．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.
答案 1
解析 f′(x)＝x2＋3f′(0)，
令x＝0，则f′(0)＝0，
∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.
5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．
解 因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，
所以a＋b＋c＝1.
因为y′＝2ax＋b，
所以曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a＋b＝1.
又曲线过点(2，－1)，
所以4a＋2b＋c＝－1.
由解得
所以a、b、c的值分别为3、－11、9.
呈重点、现规律]
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
一、基础过关
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝3，则y′＝0
B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3
C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1
D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x
答案 D
解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D项，
∵y＝sin x＋cos x，
∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x.
2．已知直线y＝x＋b是曲线y＝f(x)＝ln x的切线，则b的值等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．e
答案 A
解析 设切点的坐标为(x0，y0)，y＝f(x)＝ln x在x＝x0处的导数为f′(x0)＝，
所以＝1，所以x0＝1，y0＝0.
又因为(x0，y0)在直线y＝x＋b上，
故0＝1＋b，所以b＝－1.
3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．2 B. C．－ D．－2
答案 D
解析 ∵y＝＝1＋，
∴y′＝－.∴y′|x＝3＝－.
∴－a＝2，即a＝－2.
4．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8) D．(－，－)
答案 B
解析 y′＝3x2，∵k＝3，
∴3x2＝3，∴x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．
5．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )
A．4 B．－ C．2 D．－
答案 A
解析 依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，
f′(1)＝g′(1)＋2＝4.
6．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
答案 1
解析 ∵f(x)＝4x2＋4ax＋a2，
∴f′(x)＝8x＋4a，f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.
7．若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度为________．
答案 0.4 m/s
解析 ∵s＝t2－2t＋1，∴s′＝2t－2，
∴v＝s′(1.2)＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．
二、能力提升
8．当函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝( )
A．a B．±a
C．－a D．a2
答案 B
解析 y′＝′＝＝，
由x－a2＝0得x0＝±a.
9．若函数f(x)＝x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝____.
答案 6
解析 ∵f(x)＝x3－f′(－1)·x2＋x＋5，
∴f′(x)＝x2－2f′(－1)·x＋1，将x＝－1代入上式得f′(－1)＝1＋2f′(－1)＋1，
∴f′(－1)＝－2，再令x＝1，得f′(1)＝6.
10．求曲线y＝cos x在点A处的切线方程为____．
答案 x＋2y－－＝0
解析 ∵y′＝(cos x)′＝－sin x，
∴y′|x＝＝－sin＝－，
∴在点A处的切线方程为y－＝－，
即x＋2y－－＝0.
11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．
解 点(2,0)不在曲线y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x)．由题意，所求直线方程的斜率k＝＝y′|x＝x0＝3x，即＝3x，解得x0＝0或x0＝3.
当x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0；
当x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k＝27，
则所求直线方程是y－27＝27(x－3)，
即27x－y－54＝0.
综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.
12．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．
解 设切点为(x0，y0)，
则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，
∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16，
又切点(x0，y0)在切线上，
∴y0＝3(x－1)x0＋16，
即x－3x0＝3(x－1)x0＋16，
解得x0＝－2，
∴切线方程为9x－y＋16＝0.
三、探究与拓展
13．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
(1)解 由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①，②得解之得.
故f(x)＝x－.
(2)证明 设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(1＋)(x－x0)，
即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.