1.6 三角函数模型的简单应用
课时目标 1.会解三角形和利用三角形建立数学模型，解决实际问题.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
1．三角函数的周期性
y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；
y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；
y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
(1)ymax＝________，ymin＝________.
(2)A＝________________，k＝________________________________.
(3)ω可由________________确定，其中周期T可观察图象获得．
(4)由ωx1＋φ＝________，ωx2＋φ＝________，ωx3＋φ＝______，ωx4＋φ＝____________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．
3．三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
一、选择题
1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A.sB.sC．50sD．100s
2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
3．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f等于( )
A．3或0B．－3或0
C．0D．－3或3
4.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
5．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )
A．y＝12＋3sint，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sint，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
题 号
1
2
3
4
5
答 案
二、填空题
6．函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是________．
7．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
8．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式时s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l等于________．
三、解答题
9.如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
10．某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝Asinωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
能力提升
11．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )
12．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60].
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
1.6 三角函数模型的简单应用
答案
知识梳理
1.
2．(1)A＋k －A＋k (2) (3)ω＝ (4)0 π π 2π
3．周期
作业设计
1．A 2.A
3．D [因为f＝f，所以直线x＝是函数f(x)图象的对称轴．所以f＝3sin＝3sin＝±3.因此选D.]
4．C [d＝f(l)＝2sin.]
5．A [在给定的四个选项A、B、C、D中，我们不妨代入t＝0及t＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.]
6．26,27,28
解析 ∵T＝，又∵<<，
∴8π
解析 T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．
8.
解析 T＝＝1.∴＝2π.∴l＝.
9．解 (1)如图所示建立直角坐标系，
设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为＝.
由OP在时间t(s)内所转过的角为t＝t.
由题意可知水轮逆时针转动，
得z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sinφ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1，
令t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4s.
10．解 (1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asinωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝.
又ymin＝7，ymax＝13，
∴A＝(ymax－ymin)＝3，
B＝(ymax＋ymin)＝10.
∴函数的解析式为y＝3sint＋10 (0≤t≤24)．
(2)由题意，水深y≥4.5＋7，
即y＝3sint＋10≥11.5，t∈[0,24]，
∴sint≥，t∈，k＝0,1，
∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，
所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
11．C [∵P0(，－)，∴∠P0Ox＝.
按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－，此时P点纵坐标为2sin(t－)，
∴d＝2|sin(t－)|.
当t＝0时，d＝，排除A、D；
当t＝时，d＝0，排除B.]
12．10sin
解析 将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，
可得ω＝，所以d＝10sin.