班级____ 姓名____ 考号____ 分数____
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为( )
A．－ B.
C. D．1
答案：B
解析：原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝.
2．已知sinα＝，则cos(π－2α)等于( )
A．－ B．－
C. D.
答案：B
解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
3．已知M＝，N＝，则( )
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
答案：B
解析：由cos2x＝1－2sin2x＝，得sinx＝±，故选B.
4．已知sin＝－，cos＝，则角θ终边所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：C
解析：∵sinθ＝2sincos＝－<0，cosθ＝cos2－sin2＝－<0，∴θ终边在第三象限．
5．函数f(x)＝lg (sin2x－cos2x)的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：∵f(x)＝lg (sin2x－cos2x)＝lg (－cos2x)，∴－cos2x>0，∴cos2x<0，∴2kπ＋<2x<2kπ＋，k∈Z，∴kπ＋
A. B．(0,0)
C. D.
答案：C
解析：由条件得f(x)＝sin，又函数的最小正周期为1，故＝1，∴a＝2π，故f(x)＝sin.将x＝－代入得函数值为0.
7．tan20°＋tan40°＋(tan20°＋tan40°)等于( )
A. B．1
C. D.
答案：C
解析：tan60°＝，
∴－tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°，
∴tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝.
8．关于x的方程sinx＋cosx－a＝0有实数解，则实数a的范围是( )
A．[－2,2] B．(－2,2)
C．(－2,0) D．(0,2)
答案：A
解析：sinx＋cosx－a＝0，∴a＝sinx＋cosx
＝2＝2sin，－1≤sin≤1，∴－2≤a≤2.
9．若α，β为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于( )
A. B.
C.或 D．－
答案：B
解析：cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，
∵α为锐角cosα＝ ＝，
∴sin(α＋β)＝＜sinα，∴α＋β＞.
∴cos(α＋β)＝－ ＝－，
∴cosβ＝－×＋×＝.
10．函数y＝sin＋cos的图象的一条对称轴方程为( )
A．x＝π B．x＝π
C．x＝－π D．x＝－
答案：C
解析：y＝sin＋cos＝2sin，
又f＝2sin
＝2sin＝－2，
∴x＝－π为函数的一条对称轴．
11．已知θ为第三象限角，若sin4θ＋cos4θ＝，则sin2θ等于( )
A. B．－
C. D．－
答案：A
解析：由sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝，知sin2θcos2θ＝，又θ为第三象限角，
∴sinθ·cosθ＝，sin2θ＝.
12．设动直线x＝a与函数f(x)＝2sin2和g(x)＝cos2x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为( )
A. B.
C．2 D．3
答案：D
解析：f(x)＝1－cos＝1＋sin2x.
|MN|＝|f(a)－g(a)|＝|1＋sin2a－cos2a|＝|2sin＋1|≤3.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．coscosπ的值是________．
答案：
解析：原式＝·2sincos·cos＝·2sincosπ＝sinπ＝.
14．已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为________．
答案：－
解析：∵sin2α＋cos2α＝1，sinα＝＋cosα，
∴2＋cos2α＝1，∴2cos2α＋cosα－＝0，
∴cosα＝，
∵α∈，∴cosα>0，
∴cosα＝，∴sinα＝＋cosα＝，
∴＝＝－(sinα＋cosα)＝－＝－.
15．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值为________．
答案：
解析：∵cosα＝，α∈，
∴sinα＝，∴sin2α＝，cos2α＝－.
又cos(α＋β)＝－，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝.
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)
＝×＋×＝.
16．函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tanθ等于________．
答案：－
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴cos(－θ)－sin(－θ)＝0，∴cosθ＋sinθ＝0，∴tanθ＝－.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知＝3，tan(α－β)＝2，求tan(β－2α)的值．
解：∵＝＝3，∴tanα＝2，
∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝.
18．(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝，求cos(α－β)的值．
解：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，
∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
∴|a－b|＝
＝＝，
∴cos(α－β)＝.
19．(12分)已知函数f(x)＝－2 sin2x＋sin2x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；
(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
解：(1)f(x)＝(1－2sin2x)＋sin2x
＝sin2x＋cos2x＝2sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π，最小值为－2.
(2)列表：
x
0
π
2x＋
π
2π
f(x)
2
0
－2
0
描点连线得图象，如图所示．
20．(12分)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sinθ和cosθ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝，0<φ<，求cosφ的值．
解：(1)∵a⊥b，∴sinθ×1＋(－2)×cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ.
∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1⇒cos2θ＝.
∵θ∈，∴cosθ＝，sinθ＝.
(2)解法一：由sin(θ－φ)＝得，
sinθcosφ－cosθsinφ＝⇒sinφ＝2cosφ－，
∴sin2φ＋cos2φ＝5cos2φ－2 cosφ＋＝1⇒5cos2φ－2 cosφ－＝0.
解得cosφ＝或cosφ＝－，
∵0<φ<，∴cosφ＝.
解法二：∵0<θ，φ<，∴－<θ－φ<.
所以cos(θ－φ)＝＝.
故cosφ＝cos[(θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)
＝×＋×＝.
21．(12分)已知函数f(x)＝sinx＋cos(x－π)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若函数f(x)的图象过点，<α<，求f的值．
解：(1)由题意得，f(x)＝sinx＋cos(x－π)＝sinx－cosx＝2sin，因为－1≤sin≤1，所以函数f(x)的值域为[－2,2]，函数f(x)的周期为2π.
(2)因为函数f(x)过点，
所以f(α)＝⇒2sin＝⇒
sin＝，因为<α<，
所以0<α－<⇒cos>0⇒cos＝＝，
所以f＝2sinα＝2sin
＝2sincos＋2cossin⇒f＝.
22．(12分)在△ABC中，f(B)＝4cosB·sin2＋cos2B－2cosB.
(1)若f(B)＝2，求角B；
(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)f(B)＝4cosB·＋cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋cos2B－2cosB
＝sin2B＋cos2B＝2sin.
∵f(B)＝2，∴2sin＝2.
∵B是△ABC的内角，
∴2B＋＝，则B＝.
(2)若f(B)－m>2恒成立，
即2sin>2＋m恒成立．
∵0
∴2＋m<－2，即m<－4.