课时目标
1.掌握向量数量积的坐标表示，会进行向量数量积的坐标运算．
2．会用坐标运算求向量的模，并会用坐标运算判断两个向量是否垂直．
3．能运用数量积的坐标求出两个向量夹角的余弦值．
识记强化
1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
2．若有向线段，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|＝；若＝(x，y)，则||＝.
3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
4．两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则求两向量的夹角θ的公式为
cosθ＝.
课时作业
一、选择题
1．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a⊥b，则x的值是( )
A．±2 B．0
C．－2 D．2
答案：B
解析：由a⊥b，得a·b＝0，即4x＋x＝0，解得x＝0，故选B.
2．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为( )
A. B．3
C．－ D．－3
答案：D
解析：向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.
3．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为( )
A．－ B．0
C．3 D.
答案：C
解析：∵2a－3b＝(2k－3，－6)．又(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0，即(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.
4．若A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，则△ABC为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不等边三角形
答案：C
解析：∵A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，
∴＝(1,1)，＝(－4,3)，
cosA＝＝＝－＜0，∴∠A为钝角，△ABC为钝角三角形．
5．若向量a＝(x＋1,2) 和向量b＝(1，－1)平行，则|a＋b|＝( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意得，－(x＋1)－2×1＝0
得x＝－3.故a＋b＝(－1,1)．
∴|a＋b|＝＝
6．如图，在等腰直角三角形AOB中，设＝a，＝b，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任意一点，＝p，则p·(b－a)＝( )
A．－ B.
C．－ D.
答案：A
解析：因为在等腰直角三角形AOB中，＝a，＝b，OA＝OB＝1，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0.
由题意，可设＝－(b－a)＋λ·(b＋a)，λ∈R，
所以p·(b－a)
＝－(b－a)·(b－a)＋(b＋a)·(b－a)
＝－(b－a)2＋(|b|2－|a|2)
＝－(|a|2＋|b|2－2a·b)
＝－(1＋1－0)
＝－.
二、填空题
7．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.
答案：
解析：由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝.
8．已知点A(4,0)，B(0,3)，OC⊥AB于点C，O为坐标原点，则·＝________.
答案：
解析：设点C的坐标为(x，y)，因为OC⊥AB于点C，
∴，
即，
解得，∴·＝4x＝.
9．若平面向量a＝(log2x，－1)，b＝(log2x,2＋log2x)，则满足a·b<0的实数x的取值集合为________．
答案：
解析：由题意可得(log2x)2－log2x－2<0⇒(log2x＋1)(log2x－2)<0，所以－1
10．已知O为坐标原点，＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，则在线段OC上是否存在点M，使得⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设存在点M，且＝λ＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，
∴＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)．
∵⊥，
∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，
即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝或λ＝.
∴＝(2,1)或＝.
∴存在M(2,1)或M满足题意．
11．已知平面向量a＝(sinα，1)，b＝(1，cosα)，－<α<.
(1)若a⊥b，求α；
(2)求|a＋b|的最大值．
解：(1)由已知，得a·b＝0，
即sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－1.
∵－<α<，∴α＝－.
(2)由已知得|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝sin2α＋1＋cos2α＋1＋2(sinα＋cosα)＝3＋2sin.
∵－<α<，
∴－<α＋<，∴－
能力提升
12．若a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是( )
A．[0，] B．[0，)
C．[1,2] D．[，2]
答案：D
解析：|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝2＋2cosθ＝2(1＋cosθ)
∵θ∈，∴cosθ∈[0,1]．
∴2≤2(1＋cosθ)≤4.
∴≤|a＋b|≤2.
13．已知a＝(，－1)，b＝(，)，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．
解：由题知，|a|＝2，|b|＝1，
a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.
由x⊥y得，[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－t2k＋3k)a·b＝0，
∴－k|a|2＋(t3－3t)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，∴k＝.
∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－.
即当t＝－2时，有最小值－.