1.1.2 导数的概念
明目标、知重点
1．了解导数概念的实际背景．
2．会求函数在某一点附近的平均变化率．
3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
1．函数的变化率
定义
实例
平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，简记作：
①平均速度；②曲线割线的斜率
瞬时变化率
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即 ＝
①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率
2.函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
情境导学]
某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？
探究点一 平均变化率的概念
思考1 气球膨胀率
很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？
答 气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝ ，
(1)当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了
r(1)－r(0)≈0.62 (dm)，
气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L)．
(2)当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)，
气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L)．
可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
结论 当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是.
思考2 高台跳水
人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系
h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
计算运动员在时间段①0≤t≤0.5，②1≤t≤2内的平均速度，并思考平均速度有什么作用？
答 ①在0≤t≤0.5这段时间里，
＝＝4.05(m/s)；
②在1≤t≤2这段时间里，
＝＝－8.2(m/s)．
由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢．
思考3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考1和思考2中的平均变化率分别表示什么？
答 如果上述两个思考中的函数关系用y＝f(x)表示，那么思考中的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考1中的平均变化率表示在空气容量从V1增加到V2时，气球半径的平均增长率．思考2中的平均变化率表示在时间从t1增加到t2时，高度h的平均增长率．
思考4 平均变化率也可以用式子表示，其中Δy、Δx的意义是什么？有什么几何意义？
答 Δx表示x2－x1是相对于x1的一个“增量”；Δy表示f(x2)－f(x1)．Δx、Δy的值可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．
观察图象可看出，表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率．
小结 平均变化率为＝，其几何意义是：函数y＝f(x)的图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率．
例1 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
(1)求当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率；
(2)求当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率；
(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．
解 f(x)＝2x2＋3x－5，
∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)
＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)
＝2(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx
＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx
＝2(Δx)2＋19Δx.
＝＝2Δx＋19.
(1)当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，
Δy＝2(Δx)2＋19Δx＝2＋19＝21，＝21.
(2)当x1＝4，x2＝4.1时Δx＝0.1，
Δy＝2(Δx)2＋19Δx＝0.02＋1.9＝1.92.
＝2Δx＋19＝19.2.
(3)在(1)题中＝＝，
它表示抛物线上点P0(4,39)与点P1(5,60)连线的斜率．
在(2)题中，＝＝，
它表示抛物线上点P0(4,39)与点P2(4.1,40.92)连线的斜率．
反思与感悟 求平均变化率的主要步骤：
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1 (1)计算函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.
(2)思考：当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解 (1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)
＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，
∴＝－4.9Δx－3.3.
①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；
②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；
③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；
④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
(2)当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
探究点二 函数在某点处的导数
思考1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？
答 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，
易知h()＝h(0)，＝＝0，
而运动员依然是运动状态．
思考2 观察跟踪训练1，当Δx＝0.000 01时，＝？这个平均速度能描述物体的运动状态吗？
答 ＝－4.9Δx－3.3＝－3.300 049，说明当时间间隔非常小的时候平均速度约等于一个常数，这个常数就是x＝1这一时刻的速度．
思考3 什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？
答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．如求t＝2时的瞬时速度，可考察在t＝2附近的一个间隔Δt，当Δt趋近于0时，平均速度v趋近于 ，这就是物体在t＝2时的瞬时速度．类似可以得出平均变化率与瞬时变化率的关系，我们把函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝ 叫做函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．
思考4 导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？
答 导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度．
小结 1.函数的瞬时变化率：
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
＝ .
2．函数在某点处的导数：我们称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即
f′(x0)＝ ＝ .
例2 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
解 由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝
，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，
于是f′(2)＝ ＝ (－Δx－1)＝－1.
反思与感悟 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：
(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝ .
跟踪训练2 求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．
解 Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)
＝3(Δx)2＋4Δx，
∵＝＝3Δx＋4，
∴y′|x＝1＝ ＝ (3Δx＋4)＝4.
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解 在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和f′(6)．
根据导数的定义，＝
＝
＝＝Δx－3，
所以，f′(2)＝ ＝ (Δx－3)＝－3.
同理可得，f′(6)＝5.
在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升．
反思与感悟 (1)本题中，f′(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．
(2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：
平均变化率＝，当Δx趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．
跟踪训练3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝ s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．
解 令t0＝，Δt为增量．
则＝
＝＝－4.9＋6.5，
∴ ＝－4.9＋6.5]＝0，
即运动员在t0＝ s时的瞬时速度为0 m/s.
说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．
1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间2，2.1]中相应的平均速度是( )．
A．4 B．4.1 C．0.41 D．3
答案 B
解析 ＝＝4.1.
2．函数f(x)在x0处可导，则 ( )
A．与x0、h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0、h均无关
答案 B
3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于( )
A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
答案 C
解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1
＝2(Δx)2＋4Δx，∴＝2Δx＋4.
4．已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.
答案 －
解析 f′(1)＝
＝
＝ ＝－.
呈重点、现规律]
利用导数定义求导数三步曲：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝ .
简记为一差，二比，三趋近．
特别提醒 ①取极限前，要注意化简，保证使Δx→0时分母不为0.
②函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．
③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.
一、基础过关
1．函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为( )
A．－6 B．Δx－6
C．－2 D．Δx－2
答案 B
解析 设y＝f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
Δy＝f(－2＋Δx)－f(－2)＝(－2＋Δx－1)2－(－2－1)2＝(－3＋Δx)2－9＝(Δx)2－6Δx，
所以＝Δx－6，
所以函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为Δx－6.
2．函数y＝1在2,2＋Δx]上的平均变化率是( )
A．0 B．1 C．2 D．Δx
答案 A
解析 ＝＝0.
3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为( )．
A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s
C．0.88 m/s D．4.8 m/s
答案 A
解析 物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．
4．一质点按规律s(t)＝2t3运动，则t＝1时的瞬时速度为( )
A．4 B．6 C．24 D．48
答案 B
解析 ∵s′(1)＝
＝ ＝2(t2＋t＋1)＝6.
5．已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________.
答案 －
解析 Δy＝－(2＋1)＝－.
6.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是( )
A．甲 B．乙
C．相同 D．不确定
答案 B
解析 在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，
但是，在t0－Δt处，W1(t0－Δt)
所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．
7．利用定义求函数y＝－2x2＋5在x＝2处的瞬时变化率．
解 因为在x＝2附近，Δy＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，所以函数在区间2,2＋Δx]内的平均变化率为＝＝－8－2Δx.
故函数y＝－2x2＋5在x＝2处的瞬时变化率为
(－8－2Δx)＝－8.
二、能力提升
8．过曲线y＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝______，当Δx＝0.001时，割线的斜率k＝________.
答案 2.1 2.001
解析 ∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)
＝2Δx＋(Δx)2，∴＝2＋Δx，
∴割线斜率为2＋Δx，
当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.
当Δx＝0.001时，割线PQ的斜率k＝2＋0.001＝2.001.
9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．
答案 3
解析 v初＝s′|t＝0＝li
＝li (3－Δt)＝3.
10．求y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．
解 因为Δy＝－，
所以y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为＝＝.
11．求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
解 Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
∴＝＝2Δx＋16.
∴y′|x＝3＝ ＝ (2Δx＋16)＝16.
12．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．
解 ∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c
＝a(Δx)2＋2aΔx.
∴f′(1)＝ ＝
＝ (aΔx＋2a)＝2，即2a＝2，∴a＝1.
三、探究与拓展
13．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．
解 由导数的定义知，
f′(x)＝ ＝2x，
g′(x)＝ ＝3x2.
∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.
即3x2－2x－2＝0，解得x＝或x＝.