高中数学选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.1.4 Word版含答案

学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．点A(－1，2，1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为(　　)
A．(－1，0，1)，(－1，2，0)
B．(－1，0，0)，(－1，2，0)
C．(－1，0，0)，(－1，0，0)
D．(－1，2，0)，(－1，2，0)
【解析】　点A在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy平面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故应选B.
【答案】　B
2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是(　　)
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量与向量的坐标相同
D．向量与向量－的坐标相同
【解析】　因为A点不一定为坐标原点，所以A，B，C都不对；由于＝－，故D正确．
【答案】　D
3．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则可表示为(　　)
A.a＋b＋c　　 B.a－b＋c
C．－a－b＋c D．－a＋b＋c
【解析】　由于＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c，故选D.
【答案】　D
4．正方体ABCD­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{1，2，3}为基底，＝x1＋y＋z3，则x，y，z的值是(　　)
A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝
C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2
【解析】　＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋＝＋＋，
由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1.
【答案】　A
5．已知空间四点A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，D(x，－1，3)共面，则x的值为(　　) 【导学号：18490096】
A．4　　 B．1
C．10　　　 D．11
【解析】　＝(－2，2，－2)，＝(－1，6，－8)，＝(x－4，－2，0)，
∵A，B，C，D共面，
∴，，共面，
∴存在实数λ，μ，使＝λ＋μ，
即(x－4，－2，0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，
∴得
【答案】　D
二、填空题
6．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a与b的位置关系是________．
【解析】　∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0.
∴a⊥b.
【答案】　a⊥b
7.如图3­1­32, 在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝________．
图3­1­32
【解析】　＝－
＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－c.
【答案】　－a＋b－c
8．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．
【解析】　由题意知点A对应的向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，
∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8，3，12)．
【答案】　(8，3，12)
三、解答题
9．已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，能否以，，作为空间的一个基底？ 【导学号：18490097】
【解】　假设，，共面，
根据向量共面的充要条件有＝x＋y，
即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∴此方程组无解．
∴，，不共面．
∴{，，}可作为空间的一个基底．
10．如图3­1­33，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，＝－，＝，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
图3­1­33
【解】　连接AN，则＝＋.
由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得
＝＋＝a＋b，
＝－＝－(a＋b)，
又＝－＝b－c，
故＝＋＝－＝－
＝b－(b－c)，
＝＋＝－(a＋b)＋b－(b－c)
＝(－a＋b＋c)．
[能力提升]
1．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB.M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则等于(　　)
A.＋＋
B.(＋＋)
C.(＋＋)
D.＋＋
【解析】　如图，
＝(＋)
＝＋×(＋)
＝＋＋
＝(＋＋)．
【答案】　B
2．若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合无三点共线，则能使向量，，成为空间一组基底的关系是(　　)
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D.＝2－
【答案】　C
3．在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则＝________．
【解析】　＝(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＋＋＝(＋)＝3a－b＋3c.
【答案】　3a－b＋3c
4.在直三棱柱ABO ­A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图3­1­34所示的空间直角坐标系中，求，的坐标．
图3­1­34
【解】　∵＝－＝－(＋)
＝－[＋(＋)]＝－－－.
又||＝||＝4，||＝4，||＝2，
∴＝(－2，－1，－4)．
∵＝－＝－(＋)
＝－－.
又||＝2，||＝4，||＝4，
∴＝(－4，2，－4).