1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念
[学习目标]
1．了解导数概念的实际背景．
2．会求函数在某一点附近的平均变化率．
3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
[知识链接]
很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？
答 气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝，
(1)当V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62 (dm)，
气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L)．
(2)当V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)，
气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L)．
可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
[预习导引]
1．函数的变化率
定义
实例
平均
变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，简记作：
①平均速度；②曲线割线的斜率
瞬时
变化率
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即＝.
①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率
2.函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝.
要点一 求平均变化率
例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.
(2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解 (1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h (1)＝－4.9 (Δx)2－3.3Δx，∴＝－4.9Δx－3.3.
①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；
②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；
③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；
④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
(2)当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
规律方法 求平均变化率的主要步骤：
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
跟踪演练1 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
解 函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝＝6x0＋3Δx.
当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
要点二 物体运动的瞬时速度
例2 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝ s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．
解 令t0＝，Δt为增量．则＝＋
＝＝－4.9＋6.5，
∴＝＝0，
即运动员在t0＝ s时的瞬时速度为0 m/s.
说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．
规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：
(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求时间t0到t0＋Δt之间的平均速度＝；
(3)求的值，即得t＝t0时的瞬时速度．
跟踪演练2 一质点按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
解 ∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1
＝4aΔt＋a(Δt)2，
∴＝4a＋aΔt.
在t＝2 s时，瞬时速度为＝4a，即4a＝8，∴a＝2.
要点三 函数在某点处的导数
例3 求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．
解 Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，
∵＝＝3Δx＋4，
∴y′|x＝1＝＝ (3Δx＋4)＝4.
规律方法 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：
(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝.
跟踪演练3 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
解 由导数的定义知，函数在x＝2处的导数
f′(2)＝，而f(2＋Δx)－f(2)
＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)
＝－(Δx)2－Δx，
于是f′(2)＝＝ (－Δx－1)＝－1.
1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( )
A．4 B．4.1
C．0.41 D．3
答案 B
解析 ＝＝4.1.
2．函数f(x)在x0处可导，则( )
A．与x0、h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0、h均无关
答案 B
3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
答案 C
解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，∴＝2Δx＋4.
4．已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.
答案 －
解析 f′(1)＝＝
＝＝－.
利用导数定义求导数三步曲：
(1)作差求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)作比求平均变化率＝；
(3)取极限得导数f′(x0)＝，
简记为一差，二比，三极限.
一、基础达标
1．函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率中，Δx不可能是( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
答案 C
2．
如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案 B
解析 ＝＝＝－1.
3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2) (s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为( )
A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s
C．0.88 m/s D．4.8 m/s
答案 A
解析 物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．
4．设函数f(x)可导，则等于( )
A．f′(1) B．3f′(1)
C．f′(1) D．f′(3)
答案 A
解析 ＝f′(1)．
5．已知函数y＝＋3，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________.
答案
解析 Δy＝f(1.5)－f(2)＝－＝－1＝.
6．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．
答案 3
解析 v初＝s′|t＝0＝＝ (3－Δt)＝3.
7．利用定义求函数y＝－2x2＋5在x＝2处的瞬时变化率．
解 因为在x＝2附近，Δy＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，所以函数在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率为＝＝－8－2Δx.故函数y＝－2x2＋5在x＝2处的瞬时变化率为 (－8－2Δx)＝－8.
二、能力提升
8.
甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是( )
A．甲 B．乙
C．相同 D．不确定
答案 B
解析 在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，
但是，在t0－Δt处，W1(t0－Δt)
9．过曲线y＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________，当Δx＝0.001时，割线的斜率k＝________.
答案 2.1 2.001
解析 ∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，
∴＝2＋Δx，∴割线斜率为2＋Δx，
当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.
当Δx＝0.001时，割线PQ的斜率k＝2＋0.001＝2.001.
10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．
答案 2
解析 由导数的定义，
得f′(0)＝
＝
＝ [a·(Δx)＋b]＝b＞0.
又，∴ac≥，∴c>0.
∴＝≥≥＝2.
11．求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
解 Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
∴＝＝2Δx＋16.
∴y′|x＝3＝＝ (2Δx＋16)＝16.
12．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．
解 ∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c
＝a(Δx)2＋2aΔx.
∴f′(1)＝＝
＝ (aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，∴a＝1.
三、探究与创新
13．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．
解 由导数的定义知，
f′(x)＝＝2x，
g′(x)＝＝3x2.
∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.
即3x2－2x－2＝0，解得x＝或x＝.