课时目标
1.巩固同角三角函数关系式．
2．灵活利用公式进行化简求值证明．
识记强化
1．同角三角函数关系式是根据三角函数定义推导的．
2．同角三角函数的基本关系式包括：
①平方关系：sin2α＋cos2α＝1
②商数关系：tanα＝.
3．商数关系tanα＝成立的角α的范围是α≠kπ＋(k∈Z)．
4．sin2α＋cos2α＝1的变形有sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α等．tanα＝的变形有sinα＝tanα·cosα，cosα＝等．
课时作业
一、选择题
1．已知cos2θ＝，且＜θ＜2π，那么tanθ的值是( )
A. B．－
C. D．－
答案：D
解析：∵＜θ＜2π，cos2θ＝，∴cosθ＝.
∴sinθ＝－，故tanθ＝＝－.
2．已知tanα＝2，则＋的值为( )
A．6 B．10
C．5 D．8
答案：B
解析：先将所求关系式化简，再代入求值．
＋＝＝.
∵tanα＝＝2，∴sinα＝2cosα，
∴sin2α＋cos2α＝4cos2α＋cos2α＝5cos2α＝1，
∴cos2α＝，∴原式＝＝10.故选B.
3．设cos100°＝k，则tan100°＝( )
A. B．－
C．± D．±
答案：A
解析：∵100°是第二象限角，cos100°＝k，
∴sin100°＝，∴tan100°＝.
4．已知sinθ＝，cosθ＝，则m的值为( )
A．0 B．8
C．0或8 D．3＜m＜9
答案：C
解析：利用sin2θ＋cos2θ＝1，求m的值．
5．化简cos2x＝( )
A．tanx B．sinx
C．cosx D.
答案：D
解析：cos2x＝cos2x
＝·cos2x＝＝.
6．已知tanα＝，且α∈，则sinα的值是( )
A．－ B.
C. D．－
答案：A
解析：∵α∈，∴sinα<0.由tanα＝＝，sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝－.
二、填空题
7．已知tanα＝m，则sinα＝________.
答案：－
解析：因为tanα＝m，所以＝m2，
又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
sin2α＝.又因为π＜α＜，所以tanα＞0，
即m＞0.因而sinα＝－.
8．若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝________.
答案：2
解析：将已知等式两边平方，得cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα＝5(cos2α＋sin2α)，化简得sin2α－4sinαcosα＋4cos2α＝0，即(sinα－2cosα)2＝0，则sinα＝2cosα，故tanα＝2.
9．若tanα＋＝3，则sinαcosα＝________，tan2α＋＝________.
答案： 7
解析：∵tanα＋＝3，∴＋＝3，即＝3，∴sinαcosα＝.tan2α＋＝2－2tanα＝9－2＝7.
三、解答题
10．求证：＝.
证明：左边＝
＝
＝
＝
＝右边．
11．已知tanα＝3，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)sin2α＋cos2α.
解：(1)
＝
＝＝
(2)
＝
＝＝－
(3)sin2α＋cos2α
＝
＝
＝＝
能力提升
12．已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg＝n，则lgsinA的值为( )
A．m＋ B．m－n
C. D.(m－n)
答案：D
解析：两式相减得lg(1＋cosA)－lg＝m－n⇒
lg[(1＋cosA)(1－cosA)]＝m－n⇒lg sin2A＝m－n，
∵A为锐角，∴sinA＞0.∴2lgsinA＝m－n.
∴lgsinA＝.
13．已知＝k，试用k表示sinα－cosα的值．
解：＝
＝＝2sinαcosα＝k.
当0<α<时，sinα
＝－＝－.
当≤α<时，sinα≥cosα，此时sinα－cosα≥0，
∴sinα－cosα＝
＝＝.