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[学业达标]
一、选择题
1.等轴双曲线的一个焦点是F1(-6,0),则它的标准方程是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】 设等轴双曲线方程为-=1(a>0),
∴a2+a2=62,∴a2=18,故双曲线方程为-=1.
【答案】 B
2.已知双曲线方程为x2-=1,过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则共有l( )
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
【解析】 因为双曲线方程为x2-=1,所以P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是过点P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的共有3条,故选B.
【答案】 B
3.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则双曲线C的焦距等于( ) 【导学号:18490063】
A.2 B.2
C.4 D.4
【解析】 由已知得e==2,所以a=c,故b==c,从而双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,由焦点到渐近线的距离为,得c=,解得c=2,故2c=4,故选C.
【答案】 C
4.若实数k满足0
C.离心率相等 D.焦距相等
【解析】 若0
【答案】 D
5.双曲线两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为( )
A.2 B.
C. D.
【解析】 双曲线为等轴双曲线,两条渐近线方程为y=±x,即=1,e==.
【答案】 C
二、填空题
6.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为,则m的值为________.
【解析】 ∵c2=m+m2+4,
∴e2===5,
∴m2-4m+4=0,∴m=2.
【答案】 2
7.已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为________.
【解析】 由双曲线方程知,b=4,a=3,c=5,则虚轴长为8,则|PQ|=16.由左焦点F(-5,0),且A(5,0)恰为右焦点,知线段PQ过双曲线的右焦点,则P,Q都在双曲线的右支上.由双曲线的定义可知|PF|-|PA|=2a,|QF|-|QA|=2a,两式相加得,|PF|+|QF|-(|PA|+|QA|)=4a,则|PF|+|QF|=4a+|PQ|=4×3+16=28,故△PQF的周长为28+16=44.
【答案】 44
8.设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.
【解析】 由得点A的坐标为:
,
由得点B的坐标为,
则AB的中点C的坐标为,
∵kAB=,
∴kCP==-3,
即=-3,化简得a2=4b2,
即a2=4(c2-a2),∴4c2=5a2,
∴e2=,∴e=.
【答案】
三、解答题
9.双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,它的一条渐近线为y=x,求双曲线的标准方程和离心率.
【解】 由椭圆+=1,知c2=64-16=48,且焦点在y轴上,
∵双曲线的一条渐近线为y=x,
∴设双曲线方程为-=1.
又c2=2a2=48,∴a2=24.
∴所求双曲线的方程为-=1.
由a2=24,c2=48,
得e2==2,
又e>0,∴e=.
10.已知双曲线-=1的右焦点为(2,0).
(1)求双曲线的方程;
(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.
【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2,0),且双曲线方程为-=1,∴c2=a2+b2=3+b2=4,∴b2=1,
∴双曲线的方程为-y2=1.
(2)∵a=,b=1,
∴双曲线的渐近线方程为y=±x,
令x=-2,则y=±,
设直线x=-2与双曲线的渐近线的交点为A,B,
则|AB|=,记双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积为S,
则S=××2=.
[能力提升]
1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均与曲线C:x2+y2-6x+5=0相切,则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 曲线C的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为C(3,0),半径r=2,双曲线的渐近线为y=±x,不妨取y=x,即bx-ay=0,因为渐近线与圆相切,所以圆心到直线的距离d==2,即9b2=4(a2+b2),所以5b2=4a2,b2=a2=c2-a2,即a2=c2,所以e2=,e=,选A.
【答案】 A
2.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( )
A.3x±4y=0 B.3x+5y=0
C.5x±4y=0 D.4x±3y=0
【解析】 由题意可知|PF2|=|F1F2|=2c,所以△PF1F2为等腰三角形,所以由F2向直线PF1作的垂线也是中线,因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a,所以|PF1|=2=4b,又|PF1|-|PF2|=2a,所以4b-2c=2a,所以2b-a=c,两边平方可得4b2-4ab+a2=c2=a2+b2,所以3b2=4ab,所以4a=3b,从而=,所以该双曲线的渐近线方程为4x±3y=0,故选D.
【答案】 D
3.过双曲线x2-=1的左焦点F1,作倾斜角为的直线AB,其中A,B分别为直线与双曲线的交点,则|AB|的长为________.
【解析】 双曲线的左焦点为F1(-2,0),
将直线AB的方程y=(x+2)代入双曲线方程,
得8x2-4x-13=0.显然Δ>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
∴x1+x2=,x1x2=-,
∴|AB|=·
=× =3.
【答案】 3
4.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).
(1)求双曲线C的方程; 【导学号:18490064】
(2)若直线l:y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且·>2,其中O为原点,求k的取值范围.
【解】 (1)设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),由已知得a=,c=2.
又因为a2+b2=c2,所以b2=1,
故双曲线C的方程为-y2=1.
(2)将y=kx+代入-y2=1中,
得(1-3k2)x2-6kx-9=0,
由直线l与双曲线交于不同的两点得:
即k2≠且k2<1. ①
设A(xA,yA),B(xB,yB),
则xA+xB=,xAxB=,
由·>2得xAxB+yAyB>2,
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+)(kxB+)
=(k2+1)xAxB+k(xA+xB)+2
=(k2+1)·++2=,
于是>2,
解此不等式得