第19课时 向量减法运算及其几何意义
课时目标
1.理解向量减法的定义，掌握相反向量概念．
2．掌握向量减法运算的几何意义，能作出两个向量的差向量．
识记强化
1．定义：a－b＝a＋(－b)即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
2．几何意义：以A为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b.如图所示.
课时作业
一、选择题
1．下列运算中正确的是( )
A.－＝ B.－＝
C.－＝ D.－＝0
答案：C
解析：根据向量减法的几何意义，知－＝，所以C正确，A错误；B显然错误；对于D，－应该等于0，而不是0.
2．在四边形ABCD中，＝，|＋|＝|－|，则四边形ABCD必为( )
A．梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
答案：B
解析：矩形的对角线相等．
3．已知||＝8，||＝5，则||的取值范围为( )
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
答案：C
解析：因＝－，当，同向时，||＝8－5＝3；当，反向时，＝8＋5＝13；而当，不平行时，3＜||＜13.
4．下列说法正确的是( )
A．两个方向相同的向量之差等于0
B．两个相等向量之差等于0
C．两个相反向量之差等于0
D．两个平行向量之差等于0
答案：B
解析：根据向量减法的几何意义，知只有两个相等向量之差等于0，其他选项都是不正确的．
5．化简以下各式：
(1)＋＋；
(2)－＋－；
(3)－＋；
(4)＋＋－
则等于0的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：D
解析：对于(1)：＋＋＝0；
对于(2)：－＋－＝(＋)－(＋)＝0；
对于(3)：－＋＝(＋)－＝－＝0；
对于(4)：＋＋－＝(＋＋)－＝0.
6．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1 B．2
C. D.
答案：D
解析：延长CB至D，使BC＝BD＝1.则－＝，故|－|＝|＋|＝||.
二、填空题
7．小王从宿舍要到东边100米的教室去，但他先到宿舍西边50米的收发室拿了一个包裹，这时他需要向________边走________米才能到教室．
答案：东 150
解析：以向东为正方向，则100－(－50)＝150，所以他要向东走150米才能到教室．
8．对于向量a，b当且仅当________时，有|a－b|＝||a|－|b||.
答案：a与b同向
解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|>||a|－|b||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||.
9．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则用a，b，c表示为________．
答案：a－b＋c
解析：＝－＝＋－＝a＋c－b.
三、解答题
10.
如图所示四边形ABCD为平行四边形，设＝a，＝b.
(1)求当a与b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|；
(2)求当a与b满足什么条件时，四边形ABCD为菱形，正方形．
解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴|a＋b|＝|＋|＝||，|a－b|＝|－|＝||，又|a＋b|＝|a－b|，
∴||＝||.
∴▱ABCD的对角线长相等，
∴▱ABCD为矩形，
∴当a与b垂直时，|a＋b|＝|a－b|.
(2)欲使ABCD为菱形，需|a|＝|b|，
当|a|＝|b|，且a与b垂直时，平行四边形为正方形．
11．如图，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作向量并分别求模．
(1)a＋b＋c；
(2)a－b＋c.
解：(1)如图，由已知得a＋b＝＋＝，
又＝c，∴延长AC到E，使||＝||.
则a＋b＋c＝，且||＝2 .
(2)作＝，连接CF，则＋＝，
而＝－＝a－＝a－b，
∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.
能力提升
12．下列各式中不能化简为的是( )
A．(－)－
B.－(＋)
C．－(＋)－(＋)
D．－－＋
答案：D
解析：因为(－)－＝＋＋＝＋＝；－(＋)＝－0＝；－(＋)－(＋)＝－－－＝＋－＝；－－＋＝＋＋＝＋2.
13．探究不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|的等号成立的条件．
解：若向量a、b至少有一个零向量，不等式两端的等号都成立．
若向量a、b皆为非零向量，则当向量a、b反向时，不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|的右端等号成立；
当向量a、b同向时，不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|的左端等号成立．