第一章 三角函数(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．sin600°＋tan240°的值是( )
A．－B.
C．－＋D.＋
2．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A.B.C.D.
3．已知tanα＝，α∈，则cosα的值是( )
A．±B.C．－D.
4．已知sin(2π－α)＝，α∈(，2π)，则等于( )
A.B．－C．－7D．7
5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ可能取值是( )
A.B．－C.D.
6．若点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是( )
A.∪B.∪
C.∪D.∪
7．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是( )
8．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
9．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图象如右图所示，则当t＝秒时，电流强度是( )
A．－5 A B．5A C．5 A D．10 A
10．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0<θ<π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点横坐标为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则( )
A．ω＝2，θ＝B．ω＝，θ＝
C．ω＝，θ＝D．ω＝2，θ＝
11．设ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )
A.B.C.D．3
12．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A.B.C.D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的周长为________．
14．方程sinπx＝x的解的个数是________．
15．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f()＝________.
16．已知函数y＝sin在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)求函数y＝3－4sinx－4cos2x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x的值．
18．(12分)已知函数y＝acos＋3，x∈的最大值为4，求实数a的值．
19. (12分)如右图所示，函数y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R，ω>0,0≤θ≤)的图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A(，0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈[，π]时，求x0的值．
20．(12分)已知α是第三象限角，f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－1860°，求f(α)的值．
21．(12分)在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
22．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0且ω>0,0<φ<)的部分图象，如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a在上有两个不同的实根，试求a的取值范围．
第一章 三角函数(A)
答案
1．B 2.D 3.C
4．A [sin(2π－α)＝－sinα＝，∴sinα＝－.又α∈(，2π)，∴cosα＝.
∴＝，故选A.]
5．C [检验f＝sin是否取到最值即可．]
6．B [sinα－cosα>0且tanα>0，
∴α∈或α∈.]
7．D [当a＝0时f(x)＝1，C符合，
当0<|a|<1时T>2π，且最小值为正数，A符合，
当|a|>1时T<2π，B符合．
排除A、B、C，故选D.]
8．B [y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos2.]
9．A [由图象知A＝10，＝－＝，
∴T＝，∴ω＝＝100π.
∴I＝10sin(100πt＋φ)．
(，10)为五点中的第二个点，
∴100π×＋φ＝.
∴φ＝.∴I＝10sin(100πt＋)，
当t＝秒时，I＝－5A，故选A.]
10．A [∵y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，∴θ＝.
∵图象与直线y＝2的两个交点横坐标为x1，x2，
|x2－x1|min＝π，即Tmin＝π，
∴＝π，ω＝2，故选A.]
11．C [由函数向右平移π个单位后与原图象重合，得π是此函数周期的整数倍．又ω>0，
∴·k＝π，∴ω＝k(k∈Z)，∴ωmin＝.]
12．A [∵y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(，0)中心对称，即3cos(2×＋φ)＝0，
∴＋φ＝＋kπ，k∈Z.
∴φ＝－＋kπ.∴当k＝2时，|φ|有最小值.]
13．(6π＋40) cm
解析 ∵圆心角α＝54°＝，∴l＝|α|·r＝6π.
∴周长为(6π＋40) cm.
14．7
解析 在同一坐标系中作出y＝sinπx与y＝x的图象观察易知两函数图象有7个交点，所以方程有7个解．
15．0
解析 方法一 由图可知，T＝－＝π，即T＝，
∴ω＝＝3.∴y＝2sin(3x＋φ)，
将(，0)代入上式sin(＋φ)＝0.
∴＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－.
∴f()＝2sin(＋kπ－)＝0.
方法二 由图可知，T＝－＝π，即T＝.
又由正弦图象性质可知，若f(x0)＝f(x0＋)＝0，∴f()＝f(＋)＝f()＝0.
16．8
解析
T＝6，则≤t，
∴t≥，∴tmin＝8.
17．解 y＝3－4sinx－4cos2x＝4sin2x－4sinx－1
＝42－2，令t＝sinx，则－1≤t≤1，
∴y＝42－2 (－1≤t≤1)．
∴当t＝，即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ(k∈Z)时，
ymin＝－2；
当t＝－1，即x＝＋2kπ (k∈Z)时，ymax＝7.
18．解 ∵x∈，∴2x＋∈，
∴－1≤cos≤.
当a>0，cos＝时，y取得最大值a＋3，
∴a＋3＝4，∴a＝2.
当a<0，cos＝－1时，y取得最大值－a＋3，
∴－a＋3＝4，∴a＝－1，
综上可知，实数a的值为2或－1.
19．解 (1)将x＝0，y＝代入函数y＝2cos(ωx＋θ)中，得cosθ＝，
因为0≤θ≤，所以θ＝.
由已知T＝π，且ω>0，得ω＝＝＝2.
(2)因为点A(，0)，Q(x0，y0)是PA的中点，
y0＝，所以点P的坐标为(2x0－，)．
又因为点P在y＝2cos(2x＋)的图象上，且≤x0≤π，
所以cos(4x0－)＝，且≤4x0－≤，
从而得4x0－＝，或4x0－＝，即x0＝，或x0＝.
20．解 (1)f(α)＝＝＝cosα.
(2)∵cos＝cos＝－sinα，
又cos＝，∴sinα＝－.
又α是第三象限角，
∴cosα＝－＝－，
∴f(α)＝－.
(3)f(α)＝f(－1860°)＝cos(－1860°)＝cos1860°＝cos(5×360°＋60°)＝cos60°＝.
21．解 (1)由最低点为M得A＝2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为，
得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2.
由点M在图象上得2sin＝－2，
即sin＝－1，
故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈，∴φ＝，
故f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x＋∈，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，
故f(x)的值域为[－1,2]．
22．解 (1)由图象易知函数f(x)的周期为
T＝4×＝2π，A＝1，所以ω＝1.
方法一 由图可知此函数的图象是由y＝sinx的图象向左平移个单位得到的，故φ＝，
所以函数解析式为f(x)＝sin.
方法二 由图象知f(x)过点，则sin＝0，∴－＋φ＝kπ，k∈Z.
∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又∵φ∈，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
(2)方程f(x)＝a在上有两个不同的实根等价于y＝f(x)与y＝a的图象在上有两个交点，在图中作y＝a的图象，如图为函数f(x)＝sin在上的图象，当x＝0时，f(x)＝，当x＝时，f(x)＝0，由图中可以看出有两个交点时，a∈∪(－1,0)．