自我小测
1.函数f(x)=x3-2x2在区间[-1,5]上( )
A.有最大值0,无最小值
B.有最大值0,最小值-
C.有最小值-,无最大值
D.既无最大值也无最小值
2.函数f(x)=x+2sin x在区间[-π,0]上的最小值是( )
A.- B.2
C.+ D.--
3.已知函数f(x)=x2+2xf′(1),则当x∈[-2,3]时,f(x)的值域是( )
A.[-4,-3] B.[-3,12]
C.[-4,12] D.[-8,2]
4.函数f(x)=x·2x,则下列结论正确的是( )
A.当x=时,f(x)取最大值
B.当x=时,f(x)取最小值
C.当x=-时,f(x)取最大值
D.当x=-时,f(x)取最小值
5.对于R上可导的任意函数f(x),若满足x≠1时(x-1)·f′(x)>0,则必有( )
A.f(0)+f(2)>2f(1)
B.f(0)+f(2)<2f(1)
C.f(0)+f(2)≥2f(1)
D.f(0)+f(2)≤2f(1)
6.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为__________.
7.已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上单调递增,则a的最大值为________.
8.函数f(x)=ex(sin x+cos x)在区间上的值域为__________.
9.试求函数y=4x2+在(0,+∞)上的最值.
10.已知函数f(x)=x2-ln x,
(1)若a=1,证明f(x)没有零点;
(2)若f(x)≥恒成立,求a的取值范围.
参考答案
1.解析:f′(x)=x2-4x=x(x-4).
令f′(x)=0,得x=0或x=4,
∴f(0)=0,f(4)=-,f(-1)=-,f(5)=-,
∴f(x)max=f(0)=0,f(x)min=f(4)=-.
答案:B
2.解析:f′(x)=1+2cos x.令f′(x)=0得x=-,又f(-π)=-π,f=--,f(0)=0,故最小值为--.
答案:D
3.C
4.解析:f′(x)=2x+x·(2x)′
=2x+x·2x·ln 2.
令f′(x)=0,得x=-.
当x∈时,f′(x)<0;
当x∈时,f′(x)>0,
故函数在x=-处取极小值,也是最小值.
答案:D
5.解析:当x>1时,f′(x)>0,函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;当x<1时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,1)上是减函数,故f(x)在x=1处取得最小值,即有f(0)>f(1),f(2)>f(1),得f(0)+f(2)>2f(1).
答案:A
6.解析:∵f′(x)=3(x2-a),f(x)在(0,1)内有最小值,
∴f′(0)<0且f′(1)>0.
∴∴0<a<1.
答案:0<a<1
7.解析:∵f′(x)=3x2-a≥0(x≥1),
∴a≤3x2,∴a≤3.
答案:3
8.解析:∵f′(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=excos x,当x∈时,f′(x)=excos x≥0,
∴f(x)在上单调递增.
∴f(x)min=f(0)=,f(x)max=.
∴f(x)的值域为.
答案:
9.解:y′=8x-,令y′=0,解得x=.
当x变化时,y′,y的变化情况如下表:
x
0<x<
x=
x>
y′
-
0
+
y
极小值
所以由上表可知,函数在x=处取得最小值,最小值为3,无最大值.
10.(1)证明:a=1时,f(x)=x2-ln x(x>0),f′(x)=x-,
由f′(x)=0,得x=1,可得f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
故f(x)的最小值fmin(x)=f(1)=>0,所以f(x)没有零点.
(2)解:f′(x)=ax-=.
①若a>0,令f′(x)≥0,则x≥,故f(x)在上单调递减,在上单调递增,故f(x)在(0,+∞)上的最小值为f=+ln a,
要使f(x)≥恒成立,只需+ln a≥,得a≥1.
②若a≤0,f′(x)<0恒成立,f(x)在(0,+∞)单调递减,f(1)=≤0,故不可能f(x)≥恒成立.
综上所述,a≥1.