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单元质量评估(三)
(第三、四章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2016·北京高考)复数=( )
A.i B.1+i C.-i D.1-i
【解题指南】复数作除法运算时，分子分母同乘分母的共轭复数.
【解析】选A.===i.
2.(2016·吉林高二检测)i是虚数单位，计算i+i2+i3=( )
A.-1 B.1 C.-i D.i
【解析】选A.i+i2+i3
=i-1-i
=-1.
3.(2016·台州高二检测)设x∈R，则“x=1”是“复数z=(x2-1)+(x+1)i为纯虚数”的( )
A.充分必要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.z是纯虚数⇔⇔x=1，故选A.
4.若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为( )
A.-2 B.4 C.-6 D.6
【解析】选C.因为==为纯虚数，所以
所以a=-6.
5.如图所示的知识结构图为________结构.( )
A.树形 B.环形 C.对称形 D.左右形
【解析】选A.由框图知，此类框图是由一个框分成若干个框，所以是树形结构.
6.下面是一商场某一个时间制定销售计划的局部结构图，则“计划”受影响的主要因素有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选C.由结构图知“计划”的上位要素有：政府行为、策划部、社会需求.故有3个.
7.已知下列命题：
①复数a+bi不是实数；
②若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±2；
③若复数z=a+bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数.
其中正确的命题有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选A.根据复数的有关概念判断命题的真假：①是假命题，因为当a∈R且b=0时，a+bi是实数；②是假命题，因为由纯虚数的条件得解得x=2，当x=-2时，对应的复数为实数；③是假命题，因为没强调a，b∈R.
8.(2016·哈尔滨高二检测)若复数(a+i)2的对应点在y轴负半轴上，则实数a的值为( )
A.-1 B.1 C.- D.
【解题指南】首先将复数(a+i)2化为复数的代数形式，再根据条件确定实数a的值.
【解析】选A.因为(a+i)2=a2-1+2ai，
又复数(a+i)2的对应点在y轴负半轴上，
所以即a=-1.
9.复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2+3i，3+2i，-2-3i，则D点对应的复数是( )
A.-2+3i B.-3-2i
C.2-3i D.3-2i
【解析】选B.设D(x，y)，由平行四边形对角线互相平分得所以所以D(-3，-2).
所以对应复数为-3-2i.
10.(2016·山东高考)若复数z=，其中i为虚数单位，则=( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
【解题指南】先去掉分母，求z，再求其共轭复数.
【解析】选B.z==1+i，所以=1-i.
11.设z的共轭复数是，若z+=4，z·=8，则等于( )
A.i B.-i C.±1 D.±i
【解析】选D.设z=x+yi(x，y∈R)，则=x-yi，
由z+=4，z·=8得，
即
解得
所以===±i.
12.某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间(小时)，不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是( )
A.11小时 B.13小时
C.15小时 D.17小时
【解析】选A.组装工序可以通过三个方案分别完成：A→B→E→F→G，需要2+4+4+2=12(小时)；A→E→F→G，需要5+4+2=11(小时)；A→C→D→F→G，需要3+4+4+2=13(小时).因此组装该产品所需要的最短时间是11小时.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.若复数z=1-2i(i为虚数单位)，则z·+z=__.
【解析】因为z=1-2i，
所以z·=5，
所以z·+z=6-2i.
答案：6-2i
14.设a，b∈R，a+bi=(i为虚数单位)，则a+b的值为________.
【解析】a+bi==
==5+3i，
依据复数相等的充要条件可得a=5，b=3.
从而a+b=8.
答案：8
15.a为正实数，i为虚数单位，||=2，则a=________.
【解析】==1-ai，
则||=|1-ai|==2，所以a2=3.
又因为a为正实数，所以a=.
答案：
16.如图是向量运算的知识结构图，如果要加入“向量共线的充要条件”，则应该是______的下位.
【解析】向量共线的充要条件是其中一个向量能用另一个非零向量的数乘形式表示.
答案：“数乘”
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)设z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i，m∈R，当m为何值时，z分别是：
(1)实数.(2)纯虚数.
【解析】(1)要使z∈R，则⇔m=-1或m=-2，
所以当m=-1或m=-2时，z为实数.
(2)要使z为纯虚数，
则
即
所以
所以m=3.所以当m=3时，z为纯虚数.
18.(12分)已知复数z=，是z的共轭复数，求z·的值.
【解析】z===-·
=-(+i)(1-i)
=-(-i)，
z·=·=.
19.(12分)已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i，z2=a-2-i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1-|<|z1|，求a的取值范围.
【解析】因为z1==2+3i，z2=a-2-i，
=a-2+i，
所以|z1-|=|(2+3i)-(a-2+i)|=|4-a+2i|
=，
又因为|z1|=，|z1-|<|z1|，
所以<，
所以a2-8a+7<0，
解得1
20.(12分)画出“直线与方程”这一部分的知识结构图.
【解析】知识结构图如图所示：
21.(12分)国内某知名网站设有房地产频道，其栏目结构图如图：
(1)某人若上网搜索租房信息应如何操作？
(2)某人在建材装修方面遇有法律咨询方面需求应如何办？
【解析】房地产频道栏目设置较多，故结构图采用 “树”形结构，如果采用从上到下画法，则由于篇幅限制，不易作出.本题结构图一目了然，各部分的逻辑从属关系由此可知.
答：(1)搜索租房信息：打开网站→房地产频道→租房搜索.
(2)建材装修方面法律咨询：打开网站→房地产频道→建材装修→律师楼.
22.(12分)(2016·青岛高二检测)已知复数z1=i(1-i)3.
(1)求|z1|.
(2)若|z|=1，求|z-z1|的最大值.
【解析】(1)|z1|=|i(1-i)3|=|2-2i|==2.
(2)如图所示，由|z|=1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0，0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，-2).
所以|z-z1|的最大值可以看成是点Z1(2，-2)到圆上的点的距离的最大值.
由图知|z-z1|max=|z1|+r(r为圆的半径)=2+1.
【补偿训练】(2016·大连高二检测)已知z是复数，z+2i和均为实数(i为虚数单位).
(1)求复数z.
(2)求的模.
【解题指南】(1)设z=a+bi(a，b∈R)，分别代入z+2i和，化简后由虚部为0求得a，b的值，则复数z可求.
(2)把z代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入模的公式可得.
【解析】(1)设z=a+bi(a，b∈R)，所以z+2i=a+(b+2)i，
由a+(b+2)i为实数，可得b=-2，
又因为=为实数，所以a=4.
则z=4-2i.
(2)==1-3i，所以的模为.
【拓展延伸】复数问题实数化
在求复数时，常设复数z=x+yi(x，y∈R)，把复数z满足的条件转化为实数x，y满足的条件，这就是复数问题实数化的基本思想.
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