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阶段通关训练(三)
(60分钟 100分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.(2016·长春高一检测)直线l过点P(-1,2),倾斜角为45°,则直线l的方程为 ( )
A.x-y+1=0 B.x-y-1=0
C.x-y-3=0 D.x-y+3=0
【解析】选D.由题意k=tan45°=1,所以直线l的方程为y-2=1×(x+1),即x-y+3=0.
2.(2016·东北三校高一联考)经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为135°,则y= ( )
A.-1 B.-3 C.0 D.2
【解析】选B.由==y+2,
得y+2=tan135°=-1.所以y=-3.
3.(2015·杭州高一检测)直线+=1与两坐标轴围成的三角形的周长为 ( )
A.6 B.7 C.12 D.14
【解析】选C.直线+=1与两坐标轴的交点分别为(3,0),(0,4),因此与两坐标轴围成的三角形周长为3+4+=12.
4.若两条直线3ax-y-2=0和(2b-1)x+5by-1=0分别过定点A,B,则|AB|等于
( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为直线3ax-y-2=0可化为y=3ax-2,过定点A(0,-2).直线(2b-1)x+5by-1=0可化为(2x+5y)b-(x+1)=0过定点B,
所以|AB|==.
5.(2016·九江高一检测)点P(2,5)到直线y=-x的距离d等于 ( )
A.0 B.
C. D.
【解析】选B.由点到直线的距离公式知d==.
6.与直线l:3x-5y+4=0关于x轴对称的直线的方程为 ( )
A.3x+5y+4=0 B.3x-5y-4=0
C.5x-3y+4=0 D.5x+3y+4=0
【解析】选A.因为点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),所以只需将已知直线中的变量y变为-y即可,即为3x+5y+4=0.
二、填空题(每小题5分,共20分)
7.(2016·长沙高一检测)直线l与直线y=1,x-y-7=0分别交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,-1),则直线l的斜率为__________.
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则=-1,
又y1=1,所以y2=-3,
代入方程x-y-7=0,得x2=4,即B(4,-3),
又=1,所以x1=-2,即A(-2,1),
所以kAB==-.
答案:-
8.已知直线l1:(m+1)x+y=2-m和l2:4x+2my=-16,若l1∥l2,则m的值为________.
【解析】当m=0时,l1:x+y=2,l2:x=-4,两直线不平行.当m≠0时,由=≠,得解得m=1.
答案:1
9.已知A(2,0),B(-1,-1),P是直线x-y+2=0上的动点,则|PA|+|PB|的最小值为________.
【解题指南】找出点A关于直线x-y+2=0的对称点A′,A′与B的距离即为所求最小值.
【解析】A关于直线x-y+2=0的对称点为A′(-2,4),则所求的最小值为
|A′B|,且|A′B|=.
答案:
【补偿训练】已知a,b, c为某一直角三角形的三边长,c为斜边,若点(m,n)在直线ax+by+2c=0上,则m2+n2的最小值为________.
【解析】点(m,n)在直线ax+by+2c=0上,且m2+n2为直线上的点到原点的距离的平方.原点到直线的距离d====2,所以m2+n2≥4.
答案:4
10.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为__________.
【解析】依题意,知l1∥l2,故点M所在直线平行于l1和l2,可设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式,得=⇒|m+7|=|m+5|⇒m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得M到原点的距离的最小值为=3..Com]
答案:3
三、解答题(共4小题,共50分)
11.(12分)求直线3x-2y+24=0的斜率及它在x,y轴上的截距.
【解析】因为直线3x-2y+24=0化成斜截式,
得y=x+12,所以直线的斜率k=,
因为对直线3x-2y+24=0令y=0,得x=-8,
所以直线交x轴于点(-8,0),可得直线在x轴上截距是-8,因为对直线3x-2y+24=0令x=0,得y=12,
所以直线交y轴于点(0,12),可得直线在y轴上的截距为12.
12.(12分)如图,已知△ABC中A(-8,2),AB边上的中线CE所在直线的方程为x+2y-5=0,AC边上的中线BD所在直线的方程为2x-5y+8=0,求直线BC的方程.
【解析】设B(x0,y0),则AB中点E的坐标为,
由条件可得:
得解得即B(6,4),
又可知C点的坐标为(5,0),故所求直线BC的方程为=.即4x-y-20=0.
13.(13分)已知直线方程l1:2x+3y-5=0与l2:3x+2y-5=0,
(1)求两直线的交点.
(2)求经过交点,且与直线x+4y+3=0平行的直线方程.
【解析】(1)由得
故两直线交点为(1,1).
(2)因为所求直线与直线x+4y+3=0平行,
所以可设所求直线方程为x+4y+c=0,
由题意知点(1,1)在直线x+4y+c=0上.
所以1+4+c=0,所以c=-5,
所以所求直线方程为x+4y-5=0.
14.(13分)已知,在△ABC中,A(1,1),B(m,)(1<m<4),C(4,2),求m为何值时,△ABC的面积S最大.
【解析】因为A(1,1),C(4,2),
所以|AC|==.
又直线AC的方程为x-3y+2=0.
根据点到直线的距离公式,得点B(m,)到直线AC的距离为d=,
所以S=|AC|·d=|m-3+2|
=.
因为1<m<4,所以1<<2,
所以-<-<,
所以0≤<,
所以S=-.
所以当-=0,即m=时,S最大,
故当m=时,△ABC的面积最大.
【能力挑战题】 直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:
(1)△AOB的周长为12.
(2)△AOB的面积为6.
若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.
【解析】设直线方程为+=1(a>0,b>0),
若满足条件(1),则a+b+=12,①
又因为直线过点P,所以+=1,②
由①②可得5a2-32a+48=0,
解得或
所以所求直线的方程为+=1或+=1,
即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.
若满足条件(2),则ab=12,③
由②③整理得a2-6a+8=0,
解得或
所以所求直线的方程为+=1或+=1.
即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.
综上所述:存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,直线方程为3x+4y-12=0.
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人教版高中数学必修二检测:阶段通关训练(三) Word版含解析
2021-01-29 高一下册数学人教版