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课时自测·当堂达标
1.已知双曲线+=1的离心率e∈(1,2),则m的取值范围是 ( )
A.(-12,0) B.(-∞,0)
C.(-3,0) D.(-60,-12)
【解析】选A.显然m<0,所以a2=4,b2=-m,c2=a2+b2=4-m,
因为e∈(1,2),所以e2∈(1,4),
所以=∈(1,4),
所以m∈(-12,0).
2.已知双曲线-=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为
( )
A.(1,) B.(1,]
C.(,+∞) D.[,+∞)
【解析】选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y=x,
则由题意得>2,
所以e==>=.
3.已知双曲线C:x2-=1,过点P(1,2)的直线l与C有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l共有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【解析】选B.因为双曲线的渐近线方程为y=±2x,点P在渐近线上,双曲线的顶点为(±1,0),所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条.过点P平行于渐近线的直线只有一条,所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条.
4.过点P(8, 1)的直线与双曲线x2-4y2=4相交于A,B两点,且P是线段AB的中点,则直线AB的方程为 .
【解析】设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
-4=4 ①,
-4=4 ②,
①-②得
(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0,
因为P是线段AB的中点,
所以x1+x2=16,y1+y2=2,
所以==2.
所以直线AB的斜率为2,
所以直线AB的方程为2x-y-15=0.
答案:2x-y-15=0
5.双曲线的中心在原点,实轴在x轴上,与圆x2+y2=5交于点P(2,-1),如果圆在点P的切线平行于双曲线的左顶点与虚轴的一个端点的连线,求双曲线的方程.
【解析】因为双曲线的中心在原点,实轴在x轴上,
所以双曲线方程可设为-=1(a>0,b>0).
因为点P(2,-1)在双曲线上,所以-=1 ①.
又因为圆x2+y2=5在点P处的切线平行于双曲线左顶点(-a,0)与虚轴的一个端点(0,b)的连线,而圆的切线斜率k切与kOP的乘积为-1,
所以k切=2,即=2,所以b=2a ②.
解得①②得a2=,b2=15,
所以双曲线方程为-=1.
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