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单元质量评估(二)
(第二章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2016·锦州高二检测)下列说法正确的是( )
①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一般是正确的；③演绎推理的一般形式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选C.演绎推理只有大前提、小前提和推理形式都正确才能保证结论正确，故②错误，其他说法都正确.
2.(2016·菏泽高二检测)下列推理过程是类比推理的是( )
A.人们通过大量实验得出掷硬币出现正面的机率为
B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
C.通过检验溶液的PH值得出溶液的酸碱性
D.数学中由周期函数的定义来判断某函数是否为周期函数
【解析】选B.由题设及推理知识知，A是归纳推理.C，D都是演绎推理.B是类比推理.
3.“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的.”此推理方法是( )
A.演绎推理 B.归纳推理
C.类比推理 D.以上都不对
【解析】选B.由部分推断全体，是归纳推理.
4.(2016·珠海高二检测)若a>b>0，c
C.> D.<
【解析】选B.因为a>b>0，c
所以-ac>-bd>0，即ac
5.(2015·浙江高考)设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t.( )
A.若t确定，则b2唯一确定
B.若t确定，则a2+2a唯一确定
C.若t确定，则sin唯一确定
D.若t确定，则a2+a唯一确定
【解析】选B.当t=0时，sinb=0，b=kπ(k∈Z)，
此时b2不确定，故A错.
sin=sin=0，1或-1，故C错；
当t=2时，|a+1|=2得a=1或a=-3，所以a2+a=2或a2+a=6，故D错.
因为当|a+1|=t时a2+2a=t2-1.
当t确定时，t2-1唯一确定，即a2+2a也唯一确定.
6.如果对象A和对象B都具有相同的属性P，Q，R等，此外已知对象A还有一个属性S，而对象B还有一个未知的属性x，由此类比推理，可以得出下列哪个结论可能成立( )
A.x就是P B.x就是Q
C.x就是R D.x就是S
【解析】选D.因为P，R，Q是均具有的属性，所以可能得出的结论只能是“x就是S”.
【拓展延伸】类比推理的基本原则
类比推理是由特殊到特殊的推理，它的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目，位置关系，度量等方面入手，由一类事物的特征类比出另一类事物的相关特征.
平面图形与空间图形的类比如下：
平面
空间
平面
空间
线
面
平面角
二面角
点
线
面积
体积
边长
面积
三角形
四面体
7.(2016·鞍山高二检测)观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11…，则a11+b11=( )
A.28 B.76
C.123 D.199
【解析】选D.由已知a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4=3+1，a4+b4=7=4+3，a5+b5=7+4=11，a6+b6=11+7=18，a7+b7=18+11=29，a8+b8=29+18=47，a9+b9=47+29=76，a10+b10=76+47=123，a11+b11=123+76=199.
8.(2016·潍坊高二检测)若函数f(x)=x2-2x+m(x∈R)有两个零点，并且不等式f(1-x)≥-1恒成立，则实数m的取值范围为( )
A.(0，1) B. D.
【解析】选B.因为f(x)=x2-2x+m有两个零点.
所以4-4m>0，即m<1.
由f(1-x)≥-1得(1-x)2-2(1-x)+m≥-1，
即m≥-x2
因为-x2≤0，故0≤m<1.
9.已知f(x)=x3+x，x∈R，若a，b，c∈R，且a+b>0，b+c>0，c+a>0，则f(a)+f(b)+f(c)的值一定( )
A.大于0 B.小于0
C.等于0 D.正负都有可能
【解析】选A.因为f(x)为奇函数且为增函数，
又因为a+b>0，所以a>-b，
所以f(a)>f(-b)，即f(a)+f(b)>0，
同理f(a)+f(c)>0，f(b)+f(c)>0.
所以2(f(a)+f(b)+f(c))>0，
所以f(a)+f(b)+f(c)>0.
10.用反证法证明“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”，应假设( )
A.a，b，c中至多有一个是偶数
B.a，b，c中至少有一个是奇数
C.a，b，c中全是奇数
D.a，b，c中恰有一个是偶数
【解析】选C.“a，b，c中至少有一个是偶数”包括“a，b，c中有一个或2个或3个偶数”，其反面是a，b，c中没有偶数，即全是奇数.
11.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为( )
A.a=，b=c= B.a=b=c=
C.a=0，b=c= D.不存在这样的a，b，c
【解析】选A.令n=1，2，3，
得
所以a=，b=c=.
12.(2016·青岛高二检测)观察下列各式：|x|+|y|=1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|+|y|=20的不同整数解(x，y)的个数为( )
A.76 B.80 C.86 D.92
【解析】选B.通过观察可以发现|x|+|y|的值为1，2，3时，对应的(x，y)的不同整数解的个数分别为4，8，12，可推得当|x|+|y|=n时，对应的不同整数解(x，y)的个数为4n，所以|x|+|y|=20时的不同整数解的个数为4×20=80.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.(2016·聊城高二检测)已知x，y∈R且2x+2y=1，则x+y的取值范围为________.
【解析】因为2x+2y=1≥2，
所以2x+y≤=2-2，所以x+y≤-2.
答案：(-∞，-2]
14.(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.
【解题指南】丙拿的卡片上的数字不是“2和3”，只能是1和2，1和3，分类讨论.
【解析】由题意得：丙不拿(2，3)，
若丙(1，2)，则乙(2，3)，甲(1，3)满足，
若丙(1，3)，则乙(2，3)，甲(1，2)不满足，
故甲的卡片上的数字为1和3.
答案：1和3
15.观察下列等式：
i=n2+n，
i2=n3+n2+n，
i3=n4+n3+n2，
i4=n5+n4+n3-n，
i5=n6+n5+n4-n2，
i6=n7+n6+n5-n3+n，
…
ik=ak+1nk+1+aknk+ak-1nk-1+ak-2nk-2+…+a1n+a0，
可以推测，当k≥2(k∈N*)时，ak+1=，ak=，ak-1=________，ak-2=________.
【解析】由题意知，当k=2，3，4，5，6时，ak-1分别为，，，，，即，，，，，可以推测ak-1=.当k=2，3，4，5，6时，ak-2分别为0，0，0，0，0，可以推测ak-2=0.
答案： 0
16.(2016·临沂高二检测)观察下图：
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
……
则第________行的各数之和为20172.
【解析】第1行各项和为1=12；第2行各项之和为9=32；
第3行各项和为25=52；第4行各项之和为49=72；
即第n行各项之和为(2n-1)2.
令2n-1=2017得n=1009.
答案：1009
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)在正实数数列{an}中，a1=1，a2=5，且{}成等差数列.证明数列{an}中有无穷多项为无理数.
【证明】由已知有：=1+24(n-1)，从而an=，取n-1=242k-1，则an=(k∈N*).
用反证法证明这些an都是无理数.
假设an=为有理数，则an必为正整数，且an>24k，故an-24k≥1，an+24k>1，与(an-24k)(an+24k)=1矛盾，所以an=(k∈N*)都是无理数，即数列{an}中有无穷多项为无理数.
18.(12分)(2016·德州高二检测)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.
①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°；
②sin215°+cos215°-sin 15°·cos 15°；
③sin218°+cos212°-sin 18°·cos 12°；
④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°；
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数.
(2)根据(1)中结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.
【解析】(1)选择②式，计算如下：
sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°
=1-sin 30°=1-=.
(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)=.
证明如下：
sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)
=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-
sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-
sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.
19.(12分)(2016·泉州高二检测)已知a>0，b>0，用分析法证明：≥，
【证明】因为a>0，b>0，要证≥，
只要证，(a+b)2≥4ab，只要证(a+b)2-4ab≥0，
即证a2-2ab+b2≥0，
而a2-2ab+b2=(a-b)2≥0恒成立，
故≥成立.
20.(12分)已知a>b>0，求证：<.
【证明】因为a>b>0，所以->0，a-b>0.
所以要证<成立，
只需证-<成立，
只需证2·-2b
21.(12分)(2016·西安高二检测)直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W：+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点.
(1)当点B的坐标为(0，1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长.
(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：
四边形OABC不可能为菱形.
【解析】(1)因为四边形OABC为菱形，
所以AC与OB相互垂直平分.
所以可设A，代入椭圆方程得+=1，
即t=±，所以AC=2.
(2)假设四边形OABC为菱形.
因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB.
由消y并整理得
(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则=-，
=k+m=.
所以AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，
所以直线OB的斜率为-.
因为k·≠-1，所以AC与OB不垂直，
所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形.
22.(12分)(2016·昆明高二检测)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形.
(1)求出f(5)的值.
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式.
(3)求+++…+的值.
【解析】(1)f(5)=41.
(2)因为f(2)-f(1)=4=4×1，
f(3)-f(2)=8=4×2，
f(4)-f(3)=12=4×3，
f(5)-f(4)=16=4×4，
…
由以上规律，可得出f(n+1)-f(n)=4n，
因为f(n+1)-f(n)=4n，所以f(n+1)=f(n)+4n，
所以f(n)=f(n-1)+4(n-1)
=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)
=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)
=…
=f(n-(n-1))+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4
=2n2-2n+1.
(3)当n≥2时，==，
所以+++…+
=1+
=1+=-.
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