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课时提升作业(四)
充分条件与必要条件
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2015·宁波高二检测)已知a，b∈R，下列条件中，使a>b成立的必要条件是
( )
A.a>b-1 B.a>b+1
C.|a|>|b| D.>
【解析】选A.a>b时，一定有a>b-1，因此a>b-1是a>b的必要条件.
【补偿训练】2x2-5x-3<0的一个必要条件是 ( )
A.-
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选B.由命题p：(a+b)·(a-b)=0，得：|a|=|b|，推不出a=b，由a=b，能推出|a|=|b|，故p是q的必要不充分条件.
3.有以下说法，其中正确的个数为 ( )
(1)“m是有理数”是“m是实数”的充分条件.
(2)“tanA=tanB”是“A=B”的充分条件.
(3)“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选C.(1)由于“m是有理数”⇒“m是实数”，因此“m是有理数”是“m是实数”的充分条件.(3)由于“x=3”⇒“x2-2x-3=0”，故“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件.(2)不正确.
4.(2015·成都高二检测)已知α，β是两个不同的平面，则“平面α∥平面β”成立的一个充分条件是 ( )
A.存在一条直线l，l⊂α，l∥β
B.存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β
C.存在一条直线l，l⊥α，l⊥β
D.存在一个平面γ，γ∥α，γ⊥β
【解析】选C.A.存在一条直线l，l⊂α，l∥β，此时α，β可能相交.
B.若γ⊥α，γ⊥β，则α与β可能平行，可能相交.
C.存在一条直线l，l⊥α，l⊥β，则α∥β成立，反之不一定成立.满足条件.
D.若γ∥α，γ⊥β，则α⊥β，所以不满足条件.
5.(2015·广州高二检测)已知f(x)=x-x2，且a，b∈R，则“a>b>1”是“f(a)
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选A.画出函数f(x)=x-x2的图象，如图所示：
由图象得：f(x)在上递减，
所以a>b>1时，f(a)
6.“b2=ac”是“a，b，c”成等比数列的__________条件.
【解析】由b2=aca，b，c成等比数列，如b2=ac=0时不成立，但由a，b，c成等比数列⇒b2=ac，故“b2=ac”是“a，b，c”成等比数列的必要条件.
答案：必要
7.(2015·长春高二检测)若“x>a”是“x>2”的充分条件，则实数a的取值范围是__________.
【解析】由题意得{x|x>a}⊆{x|x>2}，所以a≥2.
答案：
8.“若a≥b⇒c>d”和“a
答案：充分
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.设函数f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为集合A，函数g(x)=的定义域为集合B.已知α：x∈A∩B，β：x满足2x+p<0，且α是β的充分条件，求实数p的取值范围.
【解析】依题意，得
A={x|x2-x-2>0}=(-∞，-1)∪(2，+∞)，
B==(0，3]，
于是可解得A∩B=(2，3].
设集合C={x|2x+p<0}=.
由于α是β的充分条件，
所以A∩B⊆C.
则满足3<-⇒p<-6.
所以，实数p的取值范围是(-∞，-6).
10.(2015·烟台高二检测)有一个圆A，在其内又含有一个圆B.请回答：命题：“若点在B内，则点一定在A内”中，“点在B内”是“点在A内”的什么条件；“点在A内”又是“点在B内”的什么条件.
【解析】它的逆否命题是：若“点不在A内”，则“点一定不在B内”.
如图，因为“点不在A内⇒点一定不在B内”为真，所以“点在B内”是“点在A内”的充分条件；“点在A内”是“点在B内”的必要条件.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2015·厦门高二检测)使|x|=x成立的一个必要条件是 ( )
A.x<0 B.x2≥-x
C.lo(x+1)>0 D.2x<1
【解析】选B.因为由|x|=x得x≥0，
所以选项A不正确，选项C，D均不符合题意.
对于选项B，因为由x2≥-x得x(x+1)≥0，
所以x≥0或x≤-1.
故选项B是使|x|=x成立的必要条件.
2.(2015·温州高二检测)已知集合A={x∈R|<2x<8}，B=，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是 ( )
A.m≥2 B.m≤2
C.m>2 D.-2
所以A⊆B，所以3≤m+1，即m≥2.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ=”的__________________条件(填“充分”或“必要”).
【解题指南】先由f(x)是奇函数可以得到φ的取值，再由φ=判断f(x)是否为奇函数，最后再判断.
【解析】f(x)是奇函数⇒φ=+kπ，k∈Z；φ=⇒f(x)是奇函数，所以“f(x)是奇函数”是“φ=”的必要条件.
答案：必要
【补偿训练】“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的________条件(填“充分”或“必要”).
【解析】若m=，两直线斜率之积等于-1，得两条直线垂直；若两条直线垂直，可得(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0，解得m=-2或m=，故“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的充分条件.
答案：充分
4.(2015·衡水高二检测)已知p：(x-3)(x+1)>0，q：x2-2x+1-m2>0(m>0)，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是__.
【解析】p：x>3或x<-1，q：x>1+m或x<1-m，要使p是q的必要条件，则q⇒p，即有⇒⇒m≥2.
答案：m≥2
【补偿训练】设p：-1≤4x-3≤1；q：(x-a)·(x-a-1)≤0，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是____________.
【解析】p：≤x≤1，q：a≤x≤a+1，
又p是q的充分条件，
所以所以0≤a≤.
答案：0≤a≤
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.分别判断下列“若p，则q”命题中，p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由.
(1)p：sinθ=0，q：θ=0.
(2)p：θ=π，q：tanθ=0.
(3)p：a是整数，q：a是自然数.
(4)p：a是素数，q：a不是偶数.
【解析】(1)由于p：sinθ=0⇐q：θ=0，p：sinθ=0q：θ=0，所以p是q的必要条件，p是q的不充分条件.
(2)由于p：θ=π⇒q：tanθ=0，
p：θ=π q：tanθ=0，
所以p是q的充分条件，p是q的不必要条件.
(3)由于p：a是整数 q：a是自然数，
p：a是整数⇐q：a是自然数，
所以p是q的必要条件，p是q的不充分条件.
(4)由于p：a是素数不能推出q：a不是偶数，而q：a不是偶数也不能推出p：a是素数.
所以p是q的不充分条件，p是q的不必要条件.
6.(2015·天津高二检测)已知p：实数x满足x2-4ax+3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0，且p是q的充分条件，求a的取值范围.
【解析】由x2-4ax+3a2<0且a<0得3a
由x2+2x-8>0得x<-4或x>2，
所以q：x<-4或x≥-2.
因为p是q的充分条件，
所以p⇒q，所以a≤-4或0>3a≥-2，
解得：a≤-4或-≤a<0，
所以a的取值范围是(-∞，-4]∪.
【补偿训练】已知全集U=R，非空集合A={x|(x-2)<0}，B={x|(x-a2-2)(x-a)<0}.p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.
【解析】若q是p的必要条件，即p⇒q，可知A⊆B，
由a2+2>a，得B={x|a
当3a+1<2，即a<时，A={x|3a+1
综上，a∈.
【拓展延伸】充分条件和必要条件的应用
(1)若p是q的充分条件，则p⇒q，此时还可以得出q是p的必要条件；若p是q的必要条件，则q⇒p，此时还可以得出q是p的充分条件.
(2)充分条件在解题中，通常作为一个条件来使用，结合有关知识点进行运算、化简、推导.
(3)必要条件一般在解答题中不出现，需要判断必要条件时，通常是由结论推导出此条件.
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