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课时提升作业 九
复数的几何意义
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·青岛高二检测)在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.因为<2<π,所以sin2>0,cos2<0,
所以复数z=sin2+icos2对应的点位于第四象限.
2.(2016·黄山高二检测)设i是虚数单位,若z=cosθ+isinθ对应的点位于复平面的第二象限,则θ位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选B.因为z=cosθ+isinθ对应的点坐标为(cosθ,sinθ),
且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限,
所以所以θ为第二象限角.
【补偿训练】复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于 ( )
A.实轴对称
B.虚轴对称
C.一、三象限平分线对称
D.二、四象限平分线对称
【解析】选A.由实部相等,虚部互为相反数得复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于实轴对称.
3.设O为原点,向量,对应的复数分别为2+3i,-3-2i,那么向量对应的复数为 ( )
A.-1+i B.1-i
C.-5-5i D.5+5i
【解析】选D.因为由已知=(2,3),=(-3,-2),
所以=-=(2,3)-(-3,-2)=(5,5),
所以对应的复数为5+5i.
4.(2016·烟台高二检测)过原点和-i对应点的直线的倾斜角是 ( )
A. B.- C. D.
【解析】选D.因为-i在复平面上的对应点是(,-1),
所以tanα==-(0≤α<π),所以α=π.
5.(2016·西安高二检测)复数1+cosα+isinα(π<α<2π)的模为( )
A.2cos B.-2cos C.2sin D.-2sin
【解析】选B.所求复数的模为
==，
因为π<α<2π，
所以<<π，
所以cos<0，
所以=-2cos.
【误区警示】本题容易忽视cos<0而错选A.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.(2016·潍坊高二检测)若复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于________.
【解析】复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a-1+2，解得a=2.
答案：2
7.(2016·武汉高二检测)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=________.
【解题指南】从复数与复平面上的点的对应角度处理.
【解析】因为z1=2-3i对应的点的坐标为(2,-3),且复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,所以z2在复平面内对应点的坐标为(-2,3),对应的复数为z2=-2+3i.
答案:-2+3i
8.已知△ABC中,,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为________.
【解析】因为,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2), =(-2,-3).
又=-=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),
所以对应的复数为-1-5i.
答案:-1-5i
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2016·郑州高二检测)在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,求向量+,对应的复数及A,B两点之间的距离.
【解析】因为复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,所以=(-3,-1),=(5,1),所以+=(-3,-1)+(5,1)=(2,0),所以向量+对应的复数是2,又=-=(-3,-1)-(5,1)=(-8,-2),所以对应的复数是-8-2i,A,B两点之间的距离为||==2.
10.实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是:
(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.
(4)对应点在x轴上方.
(5)对应点在直线x+y+5=0上.
【解析】(1)由m2-2m-15=0,得m=5或m=-3.故当m=5或m=-3时,z为实数.
(2)由m2-2m-15≠0,得m≠5且m≠-3.故当m≠5且m≠-3时,z为虚数.
(3)由得m=-2.
故当m=-2时,z为纯虚数.
(4)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5.故当m<-3或m>5时,z的对应点在x轴上方.
(5)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0,
得m=或m=.
故当m=或m=时,z的对应点在直线x+y+5=0上.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·太原高二检测)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是 ( )
A.4+8i B.8+2i
C.2+4i D.4+i
【解题指南】先求出复数在复平面上对应点的坐标,再利用中点坐标公式求出C点,再把点的坐标还原为复数.
【解析】选C.因为复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,所以A(6,5),B(-2,3),又C为线段AB的中点,所以C(2,4),所以点C对应的复数是2+4i.
【补偿训练】已知复数z1=-2+3i的对应点为Z1,Z2与Z1关于x轴对称,Z3与Z2关于直线y=-x对称,则点Z3对应的复数为z=________.
【解析】Z1(-2,3),Z2(-2,-3),Z3(3,2),
所以z=3+2i.
答案:3+2i
2.(2016·福州高二检测)已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为 ( )
A.1 B.2 C. D.3
【解题指南】根据复数的几何意义,知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离.
【解析】选D.因为|z|=2,则复数z对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,
而|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,
所以其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离,最大的距离为3.
【补偿训练】已知f(z)=|1+z|-z且f(-z)=10+3i,则复数z为________.
【解析】设z=x+yi(x,y∈R),
则f(-z)=|1-x-yi|+(x+yi)=10+3i,
所以
所以所以z=5+3i.
答案:5+3i
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=--i,z4=-i,z1,z2,z3,z4在复平面内的对应点分别是A,B,C,D,则∠ABC+∠ADC=________.
【解析】|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=,
所以点A,B,C,D应在以原点为圆心,为半径的圆上,由于圆内接四边形ABCD对角互补,所以∠ABC+∠ADC=180°.
答案:180°
【误区警示】注意|z|=a(a>0)z=±a.
4.(2016·南宁高二检测)复数z=(a-2)+(a+1)i,a∈R对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是________.
【解析】复数z=(a-2)+(a+1)i对应的点的坐标为(a-2,a+1),因为该点位于第二象限,
所以解得-1
==,
因为-1
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·广州高二检测)实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点
(1)位于第四象限.
(2)位于第一、三象限.
【解析】(1)⇒⇒
-2
⇒(m-3)(m-5)(m+2)(m-7)>0,
得m<-2或3
【延伸探究】若结论改为复数z对应的点位于直线x-2y+16=0上,则结果如何?
【解析】由复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i对应的点在直线x-2y+16=0上可得m2-8m+15-2(m2-5m-14)+16=0⇒m=1±2.
【补偿训练】已知z1=x2+i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.
【解析】因为|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,
所以>|x2+a|对x∈R恒成立,等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.
不等式等价于①:解得a=,
所以a=时,0·x2+>0恒成立.
或②:
解得-1
综上,可得实数a的取值范围是
.
6.(2016·合肥高二检测)已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线,求a的值.
【解题指南】先利用向量与复数的对应求出向量与的坐标,再利用向量共线的条件求出a的值.
【解析】因为对应的复数为-3+4i,
对应的复数为2a+i,
所以=(-3,4),=(2a,1).
因为与共线,所以存在实数k使=k,
即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),
所以所以
即a的值为-.
【补偿训练】已知虚数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为,求的取值范围.
【解题指南】由模的定义得到关于x与y的等式,即动点(x,y)的轨迹;再由=的几何意义表示动点(x,y)与(0,0)所在直线的斜率,作出草图,求出范围.
【解析】由(x-2)+yi是虚数,得y≠0,
又由|(x-2)+yi|=,得(x-2)2+y2=3.这是以(2,0)为圆心,为半径的圆(除去(2±,0)).
过O点作圆的切线OP,OQ,则斜率的最大值为=tan∠AOP=,=
tan∠AOQ=-.所以的取值范围是.
【方法技巧】常见复数模的几何意义
复数的模在复平面内对应的常见图形为:
(1)以z0为圆心,r为半径的圆:|z-z0|=r.
(2)线段z1z2的中垂线|z-z1|=|z-z2|.
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