课时训练11 等比数列
一、等比数列中基本量的运算
1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于( )
A.- B.-2 C.2 D.
答案:D
解析:=q3=,∴q=.
2.已知等比数列{an}中,a1=32,公比q=-,则a6等于( )
A.1 B.-1 C.2 D.
答案:B
解析:由题知a6=a1q5=32×=-1,故选B.
3.(2015福建宁德五校联考,7)已知等比数列{an}中,=2,a4=8,则a6=( )
A.31 B.32 C.63 D.64
答案:B
解析:设等比数列{an}的公比为q,
由=2,a4=8,得解得所以a6=a1q5=25=32.故选B.
4.(2015山东潍坊四县联考,3)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于( )
A.-4 B.-6 C.-8 D.-10
答案:B
解析:∵等差数列{an}的公差为2,a1,a3,a4成等比数列,
∴(a1+4)2=a1(a1+6),
∴a1=-8,
∴a2=-6.故选B.
5.(2015江西吉安联考,2)已知等比数列{an}的公比q=-,则等于( )
A.-3 B.- C.3 D.
答案:A
解析:∵等比数列{an}的公比q=-,
∴=-3.故选A.
二、等比中项及应用
6.2+和2-的等比中项是 .
答案:±1
解析:设A为等比中项,则A2=(2+)(2-)=1,
∴A=±1.
7.已知等比数列{an}的各项均为正数,它的前三项依次为1,a+1,2a+5,则数列{an}的通项公式an= .
答案:3n-1
解析:由题意,知(a+1)2=2a+5,∴a2=4.
∵{an}的各项均为正数,∴a+1>0且2a+5>0.
∴a=2.∴a+1=3.∴q==3.∴an=3n-1.
三、等比数列的判定
8.给出下列数列:
①2,2,4,8,16,32,…;
②在数列{an}中,=2,=2;
③常数列c,c,c,c,….
其中等比数列的个数为 .
答案:0
解析:①不是等比数列,因为;
②不一定是等比数列,因为不知道的值,即使=2,数列{an}也未必是等比数列;
③不一定是等比数列,当c=0时,数列不是等比数列.故填0.
9.设{an}是公比为q的等比数列,设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N*,
(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),
+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,
因为a1≠0,所以2qk=qk-1+qk+1.
因为q≠0,所以q2-2q+1=0,解得q=1,这与已知矛盾.
所以假设不成立,故{an+1}不是等比数列.
(建议用时:30分钟)
1.已知在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=,则该等比数列的公比为( )
A. B. C.2 D.8
答案:B
解析:因为(a1+a3)q3=a4+a6,
所以q3=,即q=,选B.
2.若等比数列的首项为,末项为,公比为,则这个数列的项数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案:B
解析:∵a1=,an=,q=,∴,则n=4.
3.已知等比数列{an}中,a1=3,8=an+1·an+2,则a3=( )
A.48 B.12 C.6 D.2
答案:B
解析:设数列{an}的公比为q,
则由8=an+1an+2,得8=a2a3,即8q3,
∴q=2.∴a3=a1q2=3×4=12.
4.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么( )
A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9
C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9
答案:B
解析:∵-1,a,b,c,-9成等比数列,
∴b2=(-1)×(-9)=9.
又∵a2=-1×b=-b,∴b=-3.
又b2=ac,∴a与c同号.∴ac=9.
5.已知1既是a2与b2的等比中项,又是的等差中项,则的值是( )
A.1或 B.1或-
C.1或 D.1或-
答案:D
解析:由题意得,a2b2=(ab)2=1,=2,
∴
又,∴其值为1或-.
6.设a1=2,数列{1+2an}是公比为2的等比数列,则a6等于 .
答案:79.5
解析:∵1+2an=(1+2a1)×2n-1,
∴1+2a6=5×25,∴a6==79.5.
7.已知等差数列{an}的公差d≠0,它的第1,5,17项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比是 .
答案:3
解析:由已知=a1·a17,
∴(a1+4d)2=a1(a1+16d).∴a1=2d.
∴公比q==3.
8.某林场的树木每年以25%的增长率增长,则第10年末的树木总量是今年的 倍.
答案:1.259
解析:设这个林场今年的树木总量是m,第n年末的树木总量为an,则an+1=an+an×25%=1.25an.
则=1.25.
则数列{an}是公比q=1.25的等比数列.
则a10=a1q9=1.259m.所以=1.259.
9.等比数列的前三项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.
解:由题意知
②÷①得q(1-q)=,
∴q=.
∴a1==96.
又∵a6=a1q5,
∴a6=96×=3,
∴a5,a7的等比中项a6=3.
10.已知数列{an}满足a1=,且an+1=an+,n∈N*.
(1)求证:是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明:∵an+1=an+,
∴an+1-an+.
∴.
∴是首项为,公比为的等比数列.
(2)解:∵an-,
∴an=.