模块综合检测(二)
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.如图，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，EF＝12 cm，则BC的长为( )
A．6 cm B．12 cm C．18 cm D．24 cm
解析：选D 根据AE＝ED，AB∥EM∥DC，有BM＝MC.
又EF∥BC，所以EF＝MC，于是EF＝BC.
2．在▱ABCD中，E是AD的中点，AC、BD交于O，则与△ABE面积相等的三角形有( )
A．5个 B．6个
C．7个 D．8个
解析：选C 利用三角形面积公式，等底等高的两个三角形面积相等，再利用平行四边形的面积为中介，建立面积相等关系．
3．在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G，交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积比为( )
A．1∶2 B．1∶4 C．4∶9 D．2∶3
解析：选C 易证△ABF≌△DAE.故知BF＝AE.
因为AE∶EB＝2∶1，故可设AE＝2x，EB＝x，
则AB＝3x，BF＝2x.
由勾股定理得AF＝＝x.
易证△AEG∽△ABF.
可得S△AEG∶S△ABF＝AE2∶AF2＝(2x)2∶(x)2＝4∶13.可得S△AEG∶S四边形BEGF＝4∶9.
4．在梯形ABCD中，AD∥BC(其中BC>AD)E、F分别是AB、DC的中点，连接EF，且EF交BD于G，交AC于H，则GH等于( )
A．AD B.(AD＋BC)
C．BC D.(BC－AD)
解析：选D 结合平行线等分线段定理及梯形中位线定理可解决此问题．
5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝135°，以A为圆心，AB为半径，作⊙A交AD、BC于E、F两点，并交BA延长线于G，则的度数是( )
A．45° B．60°
C．90° D．135°
解析：选C 的度数等于圆心角∠BAF的度数．
由题意知∠B＝45°，所以∠BAF＝180°－2∠B.
6．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，不能判定DE∥BC的是( )
A．AD＝5，AB＝8，AE＝10，AC＝16
B．BD＝1，AD＝3，CE＝2，AE＝6
C．AB＝7，BD＝4，AE＝4，EC＝3
D．AB＝AC＝9，AD＝AE＝8
解析：选C 对应线段必须成比例，才能断定DE和BC是平行关系，显然C中的条件不成比例．
7.如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PC是⊙O的割线，且PB＝BC，则等于( )
A．2 B. C. D．1
解析：选C 利用切割线定理得PA2＝PB·PC＝3PB2，
则＝.
8．D、E、F是△ABC的三边中点，设△DEF的面积为4，△ABC的周长为9，则△DEF的周长与△ABC的面积分别是( )
A.，16 B．9,4 C.，8 D.，16
解析：选A 如右图，D、E、F分别为△ABC三边中点．
∴EF綊BC，
∴△AEF∽△ABC，且＝.
∴＝＝，
又∵l△ABC＝9，∴l△DEF＝.
又∵＝＝，
又∵S△DEF＝4，
∴S△ABC＝16.
9.如图，已知在△ABC中，AD∶DC＝1∶2，E为BD的中点，AE延长线交BC于F，则BF∶FC等于( )
A．1∶5 B．1∶4
C．1∶3 D．1∶2
解析：选C 过D作DG平行于AF，交BC于点G，再根据平行线分线段成比例定理即可解决．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD＝DC，∠ADB＝20°，则∠ACB，∠DBC分别为( )
A．15°与30° B．20°与35°
C．20°与40° D．30°与35°
解析：选B ∵∠ADB＝20°，
∴∠ACB＝∠ADB＝20°.
又∵BC为⊙O的直径，
∴的度数为180°－40°＝140°.
∵D为的中点，
∴的度数为70°，
∴∠DBC＝＝35°.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)
11.(湖北高考)如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．
解析：由题意知CD2＝OC2－OD2，OC是半径，所以当OD的值最小时，DC最大，易知D为AB的中点时，DB＝DC＝2最大．
答案：2
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径作半圆交AB于D，过D作半圆的切线交AC于E，若AD＝2，DB＝4，则DE＝________.
解析：由切割线定理得：
AC2＝AD·AB＝2×6＝12.
所以AC＝2.
连接CD，可证：EC＝ED，∠A＝∠EDA.
所以AE＝ED，所以ED＝AE＝EC＝AC＝.
答案：
13．如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝________，线段AE的长为________．
解析：因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°.
又因为AB＝6，BC＝3，所以∠CAB＝30°.
又∠DCA＝90°－30°＝60°，而AD⊥DC，
所以∠DAC＝30°，
即可得出＝＝.所以AE＝BC＝3.
答案：30° 3
14．如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE＝PA，∠ABC＝60°，且PD＝1，BD＝8，则AC＝________.
解析：因为PA是圆O的切线，
所以∠CAP＝∠ABC＝60°.
又PE＝PA，
所以△PAE为等边三角形．
由切割线定理得PA2＝PD·PB＝1×9＝9，
所以PA＝3，
所以PA＝PE＝AE＝3，
ED＝PE－PD＝3－1＝2，
BE＝BD－ED＝8－2＝6.
由相交弦定理得AE·EC＝BE·ED.
所以EC＝＝＝4，
所以AC＝AE＋EC＝3＋4＝7.
答案：7
三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，EF∥BC交AB于F，FG∥BD交AD于G.
求证：AG＝DG.
证明：∵AD∥EF∥BC，E是CD的中点，∴F是AB的中点．
又∵FG∥BD，∴G是AD的中点．∴AG＝DG.
16．(本小题满分12分)(江苏高考)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.
证明：连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，
所以∠ADO＝∠ACB＝90°.
又因为∠A＝∠A，
所以Rt△ADO∽Rt△ACB.
所以＝.
又BC＝2OC＝2OD，
故AC＝2AD.
17．(本小题满分12分)如图所示，两圆内切于点T，大圆的弦AB切小圆于点C.TA，TB与小圆分别相交于点E，F.FE的延长线交两圆的公切线TP于点P.
求证：(1) ＝；
(2)AC·PF＝BC·PT.
证明：(1)设小圆的圆心为点O，连接OC.
∵AB切小圆于点C，∴OC⊥AB.
∵∠1＝∠3＝∠2，
∴EF∥AB，∴OC⊥EF，
∴＝.
(2)∵EF∥AB，∴＝＝.
∵AB切小圆于点C，
∴AC2＝AE·AT，BC2＝BF·BT.
∴＝＝，＝.
∵PT是公切线，∴∠PTF＝90°，
∵TF是⊙O的直径，
∴TE⊥PF，△PTF∽△TEF，
∴＝，∴＝，
∴AC·PF＝BC·PT.
18．(本小题满分14分)如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD为半径的圆交AC，AB于M，E.CE的延长线交⊙A于F，CM＝2，AB＝4.
(1)求⊙A的半径；
(2)求CE的长和△AFC的面积．
解：(1)∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，∴CD＝4.
在Rt△ACD中，AC2＝CD2＋AD2，
∴(2＋AD)2＝42＋AD2.
解得：AD＝3，即⊙A的半径为3.
(2)过点A作AG⊥EF于点G，
∵BC＝3，
BE＝AB－AE＝4－3＝1，
∴CE＝
＝＝.
∵∠ADC＝90°，
∴CD为⊙A的切线，
∴CE·CF＝CD2，
∴CF＝＝＝.
又∠B＝∠AGE＝90°，∠BEC＝∠GEA，
∴△BCE∽△GAE，
∴＝即＝.∴AG＝，
∴S△AFC＝CF·AG＝××＝.