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考前过关训练(一)
不等式和绝对值不等式
(35分钟 60分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.已知x≥,则f(x)=有 ( )
A.最大值 B.最小值
C.最大值1 D.最小值1
【解析】选D.因为x≥,所以x-2≥.
所以f(x)==(x-2)+≥
2=1,
当且仅当=,
即x=3时,等号成立,所以f(x)min=1.
2.若a>b>c,则一定成立的不等式是 ( )
A.a|c|>b|c| B.ab>ac
C.a-|c|>b-|c| D.<<
【解析】选C.当c=0时,A不成立;
当a<0时,B不成立;当a=1,c=-1时,D不成立.
因为a>b,所以C成立.
3.不等式|sinx+tanx|
C.M=N D.MN
【解析】选B.因为|sinx+tanx|≤|sinx|+|tanx|,
则M⊆N(当a≤0时,M=N=∅),故选B.
4.不等式3<|5-2x|≤9的解集为 ( )
A.[-2,1)∪[4,7) B.(-2,1]∪(4,7]
C.(-2,-1]∪[4,7) D.[-2,1)∪(4,7]
【解析】选D.由
得
所以得[-2,1)∪(4,7]
5.(2016·上饶高二检测)若关于x的不等式-
C.(-∞,-3)∪(-1,+∞) D.(-3,-1)
【解析】选B.设f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)当x<-1时,f(x)=-(x+1)+x-2=-3.
(2)当-1≤x<2时,f(x)=x+1+x-2=2x-1,
此时-3≤f(x)<3.
(3)当x≥2时,f(x)=x+1-(x-2)=3.
综上:函数f(x)=|x+1|-|x-2|的最小值是-3;关于x的不等式-
6.当x>1时,不等式x-2+≥a恒成立,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.[1,+∞) D.(-∞,1]
【解析】选D.由已知得a≤.
因为x>1,所以x-1>0,
所以x-2+=x-1+-1≥
2-1=1,
所以=1,所以a≤1.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.已知x2+2y2=1,则x2y4-1的最大值是________.
【解析】因为x2+2y2=1,所以x2+y2+y2=1,
又x2·y2·y2≤=.
所以x2y4-1≤-1=-,
故x2y4-1的最大值为-.
答案:-
8.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为________.
【解题指南】先求(x+y)的最小值,只需≥9即可.
【解析】(x+y)=1+a++≥1+a+2,所以1+a+2≥9,即a+2-8≥0,
故a≥4.
答案:4
9.如果关于x的不等式|x-2|+|x+3|≥a的解集为R,则a的取值范围是__________.
【解析】|x-2|+|x+3|表示数轴上的x点到2和-3点的距离之和,其最小值等于5,
故当a≤5时关于x的不等式|x-2|+|x+3|≥a的解集为R.
答案:(-∞,5]
三、解答题(每小题10分,共30分)
10.设不等式|x+1|≤a的解集为A,不等式|x-1|+|2-x|>2的解集为B,若A∪B=R,求实数a的取值范围.
【解题指南】求解|x+1|≤a,需要对a进行分类讨论.
【解析】当a<0时,集合A=;
当a≥0时,集合A={x|-a-1≤x≤a-1}.
可求得集合B=.
因为A∪B=R,所以a≥0.
此时A={x|-a-1≤x≤a-1}.
把集合A,B在数轴上表示出来,如图,
因此有-a-1≤且≤a-1,即a≥.
因此,所求a的取值范围为.
11.(2016·郑州高二检测)已知函数f(x)=|2x-1|+|x-2a|.
(1)当a=1时,求f(x)≤3的解集.
(2)当x∈[1,2]时,f(x)≤3恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,原不等式可化为|2x-1|+|x-2|≤3,依题意,当x>2时,不等式即3x-3≤3,则解得x≤2,综合可得,x无解.
当≤x≤2时,不等式即x+1≤3,解得x≤2,
综合可得,≤x≤2.
当x<时,不等式即3-3x≤3,解得x≥0,
综合可得0≤x<.
综上所述:原不等式的解集为[0,2].
(2)原不等式可化为|x-2a|≤3-|2x-1|,
因为x∈[1,2],所以|x-2a|≤4-2x,
即2x-4≤2a-x≤4-2x,故3x-4≤2a≤4-x,对x∈[1,2]恒成立,
当1≤x≤2时,3x-4的最大值2,4-x的最小值2,所以a=1,即a的取值范围为{1}.
12.某集团投资兴办甲、乙两个企业,2014年甲企业获得利润320万元,乙企业获得利润720万元,以后每年甲企业的利润以上年利润1.5倍的速度递增,而乙企业是上年利润的.预期目标为两企业年利润之和是1600万元,从2014年年初起:
(1)哪一年两企业获利之和最小?
(2)需经过几年即可达到预定目标(精确到1年)?
【解析】(1)设从2014年起,第n年获利为
yn=320+720
≥2
=2×480=960,
当且仅当320·=720,
即·=,
n=2时取等号.
所以第二年,即2015年两企业获得利润之和最少,共960万元.
(2)依题意有:320+720≥1600,
即4+9≥20.
设=t(t≥1),
则原不等式化为4t2-20t+9≥0,
解得t≥,或t≤(舍去).
于是≥,n≥1+lo
=2+lo3>2+lo=4.
所以n=5,即经过5年可达到预期目标.
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