学业分层测评（七）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知数列{an}满足：a1＝－，an＝1－(n>1)，则a4等于( )
A. B. C．－ D.
【解析】 a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－.
【答案】 C
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
【解析】 由a2－a1＝3－1＝2，
a3－a2＝6－3＝3，a4－a3＝10－6＝4，
a5－a4＝15－10＝5，
归纳猜想得an－an－1＝n(n≥2)，
所以an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2.
【答案】 B
3．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是( )
A. B. C．4 D．0
【解析】 ∵an＝－32＋，由二次函数性质得，当n＝2或3时，an最大，最大为0.
【答案】 D
4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－an－3＝0，则{an}的通项公式为( )
A．an＝3n＋2 B．an＝3n－2
C．an＝3n－1 D．an＝3n＋1
【解析】 因为a1＝2，an＋1－an－3＝0，
所以an－an－1＝3，
an－1－an－2＝3，
an－2－an－3＝3，
…
a2－a1＝3，
以上各式相加，
则有an－a1＝(n－1)×3，
所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.
【答案】 C
5．已知在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2 016＝( )
A．3 B．－3
C．6 D．－6
【解析】 由题意知：a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，
a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，
a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，
a9＝a8－a7＝3，a10＝a9－a8＝－3，
…
故知{an}是周期为6的数列，
∴a2 016＝a6＝－3.
【答案】 B
二、填空题
6．数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2 016－a2 015＝ .
【解析】 由已知a2 016－a2 015－2 015＝0，
∴a2 016－a2 015＝2 015.
【答案】 2 015
7．数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是 ．
【解析】 因为an＝4an－1＋3，所以a2＝4×0＋3＝3，
a3＝4×3＋3＝15，a4＝4×15＋3＝63，a5＝4×63＋3＝255.
【答案】 255
8．数列{an}满足：a1＝6，a1＋a2＋a3＋…＋an＝an－3，那么这个数列的通项公式为 ．
【解析】 由a1＋a2＋a3＋…＋an＝an－3，
得a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝an－1－3(n≥2)，
两式作差得3an－1＝an(n≥2)，
∴an＝a1···…·＝6·3n－1＝2·3n(n≥2)．
∵a1＝6也适合上式，
∴an＝2·3n(n∈N*)(n∈N*)．
【答案】 an＝2·3n(n∈N*)
三、解答题
9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项an.
【解】 将an＋1＝两边同时取倒数得：
＝，
则＝＋，
即－＝，
∴－＝，－＝，…，－＝，
把以上这(n－1)个式子累加，
得－＝.
∵a1＝1，∴an＝(n∈N*)．
10．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·n，试求数列{an}的最大项. 【导学号：05920065】
【解】 假设第n项an为最大项，则
即
解得即4≤n≤5，
所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.
[能力提升]
1．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( )
A．－165 B．－33
C．－30 D．－21
【解析】 由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3.
∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)
＝2a2＋2(a1＋a2)
＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.
【答案】 C
2．(2015·吉林高二期末)已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N*，则a2 014＋a2 015等于( )
A．4 B.
C. D．
【解析】 a2＝f＝－1＝；
a3＝f＝－1＝；
a4＝f＝＋＝；
a5＝f＝2×－1＝；
a6＝f＝2×－1＝；
…
∴从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列．
∴a2 014＋a2 015＝a4＋a5＝.故选B.
【答案】 B
3．(2015·龙山高二检测)我们可以利用数列{an}的递推公式an＝(n∈N*)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第 项．
【解析】 由题意可知，a5＝a10＝a20＝a40＝a80＝a160＝a320＝a640＝…＝5.故第8个5是该数列的第640项．
【答案】 640
4．已知数列{an}，满足a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求数列的通项公式．
【解】 法一 由an－an－1＝
＝－(n≥2)，
则an－1－an－2＝－，
…
a3－a2＝－，
a2－a1＝1－.
将上式相加得an－a1＝1－(n≥2)，
又a1＝1，
∴an＝2－.a1＝1也适合，
∴an＝2－(n∈N*)．
法二 由已知得an－an－1＝－(n≥2)，
则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝－＋－＋－＋…＋1－＋1＝2－(n≥2)．
a1＝1也适合，
∴an＝2－(n∈N*).