高中数学必修3第一章 算法初步 Word版含解析


重点列表：
重点
名称
重要指数
重点1
算法的概念
★★★
重点2
顺序结构
★★★★
重点3
分支结构
★★★★
重点详解：
1．算法的概念及特点
(1)算法的概念
在数学中，算法通常是指按照一定______解决某一类问题的________和________的步骤．
(2)算法的特点之一是具有______性，即算法中的每一步都应该是确定的，并能有效的执行，且得到确定的结果，而不应是模棱两可的；其二是具有______性，即算法步骤明确，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行后一步，并且每一步都准确无误才能解决问题；其三是具有______性，即一个算法应该在有限步操作后停止，而不能是无限的；另外，算法还具有不唯一性和普遍性，即对某一个问题的解决不一定是唯一的，可以有不同的解法，一个好的算法应解决的是一类问题而不是一两个问题．
2．程序框图
(1)程序框图的概念
程序框图又称流程图，是一种用 、
及 来表示算法的图形．
(2)构成程序框图的图形符号、名称及其功能
图形符号
名　　称
功　　能
①　　　　　
表示一个算法的起始和结束
②　　　　　
表示一个算法输入和输出的信息
③　　　　　
赋值、计算
④　　　　　
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”
⑤　　　　　
连接程序框
○
⑥　　　　　
连接程序框图的两部分
3. 算法的基本逻辑结构
(1)顺序结构
顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按__________的顺序进行的．它是由若干个__________的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的基本结构．顺序结构可用程序框图表示为如图所示的形式：
(2)条件结构
在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向．常见的条件结构可以用程序框图表示为如图所示的两种形式：
程序语句
1．输入(INPUT)语句
输入语句的一般格式： .
要求：
(1)输入语句要求输入的值是具体的常量；
(2)提示内容提示用户输入的是什么信息，必须加双引号，“提示内容”原原本本地在计算机屏幕上显示，提示内容与变量之间要用分号隔开；
(3)一个输入语句可以给多个变量赋值，中间用“，”分隔．
2．输出(PRINT)语句
输出语句的一般格式： .
功能：实现算法输出信息(表达式)．
要求：
(1)表达式是指算法和程序要求输出的信息；
(2)提示内容提示用户要输出的是什么信息，提示内容必须加双引号，提示内容要用分号和表达式分开；
(3)如同输入语句一样，输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能，不同的表达式之间可用“，”分隔．
3．赋值语句
赋值语句的一般格式： .
赋值语句中的“＝”叫做赋值号，它和数学中的等号不完全一样．
作用：赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量．
要求：
(1)赋值语句左边只能是变量，而不是表达式，右边表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式．如：2＝x是错误的；
(2)赋值号的左右两边不能对换．赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量．如“A＝B”、“B＝A”的含义和运行结果是不同的，如x＝5是对的，5＝x是错的，A＋B＝C是错的，C＝A＋B是对的；
(3)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解、解方程等)．
4．条件语句
(1)“IF—THEN”语句
格式：
____________________．
说明：当计算机执行“IF—THEN”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体，否则执行END IF之后的语句．
(2)“IF—THEN—ELSE”语句
格式：
____________________．
说明：当计算机执行“IF—THEN—ELSE”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体1，否则(ELSE)执行语句体2.
【答案】
1．(1)规则　明确　有限　(2)确定　有序　有穷
2．(1)程序框　流程线　文字说明
(2)①终端框(起止框)　②输入、输出框　
③处理框(执行框)　④判断框　⑤流程线
⑥连接点
3．(1)从上到下　依次执行
程序语句
1．INPUT　“提示内容”；变量
2．PRINT　“提示内容”；表达式
3．变量＝表达式
4．(1)　
(2)

重点1：算法的概念
【要点解读】
算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
【考向1】算法的概念
【例题】下列语句是算法的个数为(　　)
①从济南到巴黎：先从济南坐火车到北京，再坐飞机到巴黎；
②统筹法中“烧水泡茶”的故事；
③测量某棵树的高度，判断其是否为大树；
④已知三角形的两边及夹角，利用三角形的面积公式求出该三角形的面积．
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
【评析】算法过程要做到一步一步地执行，每一步执行的操作必须确切，不能含糊不清，且在有限步后必须得到问题的结果．
【考向2】经典算法
【例题】“韩信点兵”问题．韩信是汉高祖刘邦手下的大将，为了保守军事机密，他在点兵时采用下述方法：先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1～5报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快就知道了自己部队士兵的总人数．请设计一个算法，求出士兵至少有多少人．
解：在本题中，士兵从1～3报数，最后一个士兵报2，说明士兵的总人数是除以3余2，其他两种情况依此类推．
(算法一)步骤如下：
第一步：先确定最小的满足除以7余4的数是4；
第二步：依次加7就得到所有满足除以7余4的数：4，11，18，25，32，39，46，53，60，…；
第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：18；
第四步：依次加上35，得18，53，88，…；
第五步：在第四步得到的一列数中，找到最小的满足除以3余2的正整数：53，这就是我们要求的数．
(算法二)步骤如下：
第一步：先确定最小的满足除以3余2的数是2；
第二步：依次加3就得到所有满足除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，44，47，50，53，56，…；
第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8；
第四步：然后依次加15就得8，23，38，53，…，不难看出，这些数既满足除以3余2，又满足除以5余3；
第五步：在第四步所得的一列数中找到满足除以7余4的最小数是53，这就是我们要求的数．
【评析】给出一个问题，设计算法时要注意：(1)认真分析问题，研究解决此问题的一般方法；(2)将解决问题的过程分解成若干步骤；(3)用简练的语言将各步骤表示出来；(4)把解题过程条理清楚地表达出来，就得到一个明确的算法．对于同一问题，可以设计不同的算法，其最终的结果是一样的，但解决问题的繁简程度不同，我们要寻找最优算法．
重点2：顺序结构
【要点解读】
(1)程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形．
(2)程序框图通常由程序框和流程线组成．
(3)基本的程序框有终端框(起止框)、输入、输出框、处理框(执行框)、判断框．
输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能
语句
一般格式
功能
输入语句
INPUT“提示内容”；变量
输入信息
输出语句
PRINT“提示内容”；表达式
输出常量、变量的值和系统信息
赋值语句
变量＝表达式
将表达式的值赋给变量
【考向1】顺序结构程序框图
【例题】已知点P(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P(x0，y0)到直线l的距离d，写出其算法并画出流程图．
解：算法如下：
第一步：输入x0，y0及直线方程的系数A，B，C.
第二步：计算z1＝Ax0＋By0＋C.
第三步：计算z2＝A2＋B2.
第四步：计算d＝.
第五步：输出d.
流程图如图所示：
【评析】顺序结构是一种最简单、最基本的结构，可严格按照传统的解题思路写出算法步骤，画出程序框图．注意语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的．
【考向2】顺序结构语句
【例题】请写出下面运算输出的结果．
(1)a＝5
b＝3
c＝(a＋b)/2
d＝c*c
PRINT　“d＝”；d
(2)a＝1
b＝2
c＝a＋b
b＝a＋c－b
PRINT　“a＝，b＝，c＝”；a，b，c
(3)a＝10
b＝20
c＝30
a＝b
b＝c
c＝a
PRINT　“a＝，b＝，c＝”；a，b，c
解：(1)语句“c＝(a＋b)/2”是将a，b之和的一半赋值给变量c，语句“d＝c*c”是将c的平方赋值给d，最后输出d的值．故输出结果为d＝16.
(2)语句“c＝a＋b”是将a，b之和赋值给c，语句“b＝a＋c－b”是将a＋c－b的值赋值给了b.故输出结果为a＝1，b＝2，c＝3.
(3)经过语句“a＝b”后a，b，c的值是20，20，30，经过语句“b＝c”后a，b，c的值是20，30，30，经过语句“c＝a”后a，b，c的值是20，30，20.故输出结果为a＝20，b＝30，c＝20.
【评析】①将一个变量的值赋给另一个变量，前一个变量的值保持不变；②可先后给一个变量赋多个不同的值，但变量的取值总是最后被赋予的值．
重点3：分支结构
【要点解读】
条件语句
(1)算法中的条件结构与条件语句相对应．
(2)条件语句的格式及框图
①IF－THEN格式
②IF－THEN－ELSE格式
【考向1】分支机构程序框图
【例题】某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用c(单位：元)与行李的重量w(单位：kg)之间的关系为c＝
写出计算费用c的算法并画出程序框图．
解：算法如下：
第一步：输入行李的重量w；
第二步：如果w≤50，那么c＝0.53w，
否则c＝50×0.53＋(w－50)×0.85；
第三步：输出托运费c.
程序框图如图所示：
【评析】条件结构的运用与数学的分类讨论有关．设计算法时，哪一步要分类讨论，哪一步就需要用条件结构．
【考向2】条件语句
【例题】设计算法，求关于x的方程ax＋b＝0的解．
解：程序框图如图所示．
根据框图可写出程序语言：
INPUT a，b
IF a〈〉0 THEN
　PRINT “x＝”；－b/a
ElSE
　IF b＝0 THEN
PRINT “解集为R”
　ELSE
PRINT “此方程无解”
　END IF
END IF
END
【评析】对于三段或三段以上的分段函数求函数值的问题，通常需用条件语句的嵌套结构．本例是条件语句内套条件语句，即用了两个条件语句，必须有两个END IF，请读者指出前后END IF分别结束的条件语句．
难点列表：
难点
名称
难度指数
难点1
循环结构
★★★★
难点2
算法案例
★★★★★
难点详解：
循环结构
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是 ．反复执行的步骤称为 ．
循环结构有如下两种形式：
①如图1，这个循环结构有如下特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．因此，这种循环结构称为____________．
②如图2表示的也是常见的循环结构，它有如下特征：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．因此，这种循环结构称为____________．
循环语句
(1)当型循环语句
当型(WHILE型)语句的一般格式为：
________________．
(2)直到型循环语句
直到型(UNTIL型)语句的一般格式为：
______________．
【答案】循环结构　循环体　①直到型循环结构　
②当型循环结构
(1) (2)
难点1：循环结构
【要点解读】
循环语句
(1)算法中的循环结构与循环语句相对应．
(2)循环语句的格式及框图．
①UNTIL语句
②WHILE语句
【考向1】循环结构程序框图
【例题】设计一个算法求1＋＋…＋＋的值，并画出程序框图．
解：当型循环：
算法如下：
第一步：令i＝1，S＝0；
第二步：若i≤10成立，则执行第三步，否则，输出S；
第三步：计算S＝S＋，i＝i＋1，返回第二步．
程序框图如图所示：
直到型：
算法如下：
第一步：令i＝1，S＝0；
第二步：计算S＝S＋，i＝i＋1；
第三步：若i>10，则输出S，否则，返回第二步．
程序框图如图所示：
【评析】如果算法问题里涉及的运算进行了许多次重复的操作，且先后参与运算的数之间有相同的规律，就可引入变量循环参与运算(我们称之为循环变量)，应用循环结构．在循环结构中，要注意根据条件设计合理的计数变量、累加和累乘变量及其个数等，特别要使条件的表述恰当、准确．
【考向2】循环语句
【例题】读下面的程序：
INPUT　n
　i＝1
　S＝1
WHILE　i<＝n
　S＝S*i
　i＝i＋1
WEND
PRINT　S
END
上面的程序在执行时输入6，那么输出的结果为(　　)
A．6 B．720 C．120 D．1
【评析】计算机执行此程序时，遇到WHILE语句，先判断条件是否成立，如果成立，则执行WHILE和WEND之间的循环体，然后返回到WHILE语句再判断上述条件是否成立，直至返回到WHILE语句判断上述条件不成立为止，这时不再执行循环体，而执行WEND后面的语句，这是当型循环．
难点2：算法案例
【要点解读】
算法案例
(1)辗转相除法
辗转相除法是用于求两个正整数的最大公约数的一种方法，这种算法是由欧几里得在公元前330年左右首先提出的，因此又叫欧几里得算法．
(2)更相减损术的定义
任给两个正整数(若是偶数，先用2约数)，以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)(或这个数与约简的数的乘积)就是所求的最大公约数．
(3)秦九韶算法
秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算一元n次多项式的值的方法．
【考向1】辗转相除法与更相减损术
【例题】用更相减损术求120与75的最大公约数时，反复相减，直至求出结果，进行减法运算的次数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．3
解析：∵120－75＝45,75－45＝30,45－30＝15,30－15＝15，
∴120与75的最大公约数是15，共进行4次减法运算．
答案：A
【考向2】秦九昭算法
【例题】用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋8的值，当x＝3时，v3的值为(　　)
A．27 B．86
C．262 D．789
答案：B
【趁热打铁】
1．用辗转相除法求108和45的最大公约数为(　　)
A．2 B．9
C．18 D．27
2．已知程序如下：
当输入x的值为5时，输出的结果为(　　)
A．15 B．76
C．84 D．34
3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是(　　)
A. B.
C. D.
4．下列程序运行后的输出结果是(　　)
A．17 B．19
C．21 D．23
5．计算机中常用16进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，与10进制的对应关系如下表：
16进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
那么，16进制中的16C化为十进制数应为(　　)
A．1 612 B．364
C．5 660 D．360
6．如下框图，当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于(　　)
A．7 B．8
C．10 D．11
7．如图框图
(1)若输入4，则输出的是________；
(2)若输出32，则输入的是________．
8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果S＝________.
9．根据如图所示的框图，说明该流程图解决什么问题，写出相应的算法，并回答下列问题：
(1)若输入x的值为5，则输出的结果是什么？
(2)若输出的值为8，则输入的x的值是什么？
(3)要使输出的值最小，输入的x的值应是多少？
10．如图是为求310的值而设计的程序框图，请回答下列问题．
(1)将空白处补上，指明它是循环结构中的哪一种类型；
(2)画出它的另一种循环结构框图．
第一章
1解析：∵108＝2×45＋18,45＝2×18＋9,18＝9×2，
∴108和45的最大公约数为9.
答案：B
2解析：该程序表示的是输入x输出函数
y＝的值．
答案：A
答案：C
5解析：16C(16)＝1×162＋6×16＋12×160＝256＋96＋12＝364.
答案：B
6解析：当x3＝7时，|6－9|<|9－7|，即3<2，此时p＝＝8，输出p＝8，A不正确；当x3＝8时，|6－9|<|9－8|，即3<1，此时p＝＝8.5，输出p＝8.5，B正确．同理可验证C、D不正确．
答案：B
7解析：(1)若输入4，
∵4>1，
∴y＝－2×4＋32＝24.
(2)若输出32，当x2＋4x＝32时，x1＝4，x2＝－8；
当32＝－2x＋32时x＝0，
∵4>1，－8<1，当x＝0时，y＝02＋4×0＝0≠32，
∴x＝－8.
答案：(1)24　(2)－8
8解析：第一次循环S＝1，a＝3，n＝2，
第二次循环S＝4，a＝5，n＝3，
第三次循环S＝9，a＝7，跳出循环．
故输出的值为9.
答案：9
10解：(1)空白部分应填：i≤10？，它为当型循环结构；
(2)直到型循环结构的程序框图如下图所示：