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课程目标
学习脉络
1．体会定积分在解决几何问题中的作用．
2．会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.
1．利用定积分求曲边多边形的面积
(1)在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数及积分的上、下限．
(2)若一平面图形是由y＝f1(x)，y＝f2(x)及x＝a，x＝b(a＜b)所围成，并且在[a，b]上f1(x)≤f2(x)，则该平面图形的面积S＝[f2(x)－f1(x)]dx.
2．曲边梯形的面积和其上、下两个边界所表示的函数的关系
(1)如图①，阴影部分的面积为S＝g(x)dx＋f(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.
(2)如图②，阴影部分的面积为S＝[f(x)－g(x)]dx＋[f(x)－c(x)]dx.所以，曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示的函数的差的定积分．
思考1如图，当x∈[a，b]时，f(x)＜0，则f(x)与x轴所围图形的面积怎样表示？
提示：因为曲边梯形上边界函数为g(x)＝0，下边界函数为f(x)，所以S＝(0－f(x))dx＝f(x)dx.
3．常见平面图形的面积计算
(1)求由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a＜b)及y＝0所围成平面图形的面积S.
图①中，f(x)＞0，f(x)dx＞0，因此面积S＝f(x)dx；
图②中，f(x)＜0，f(x)dx＜0，因此面积S＝＝f(x)dx；
图③中，当a≤x≤c时，f(x)＜0，c≤x≤b时，f(x)＞0，因此面积S＝|f(x)|dx＝[－f(x)]dx＋f(x)dx.
(2)求由两条曲线f(x)和g(x)，直线x＝a，x＝b(a＜b)所围成平面图形的面积S.
图④中，f(x)＞g(x)＞0，面积S＝[f(x)－g(x)]dx；
图⑤中，f(x)＞0，g(x)＜0，面积S＝f(x)dx＋|g(x)|dx＝[f(x)－g(x)]dx.
思考2求曲边多边形的面积的步骤有哪些？
提示：(1)画出图形，确定图形范围．即借助几何知识将所求图形的面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题．
(2)确定积分上、下限．即通过解方程组求出交点的横坐标，确定积分上、下限．
(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置．
(4)写出平面图形面积的定积分表达式，运用微积分基本定理计算定积分，从而求出平面图形的面积．