高中数学必修4：第4课时 三角函数线 Word版含解析

第4课时　三角函数线
　　　　　　课时目标
　借助单位圆理解任意角三角函数定义(正弦、余弦、正切)．
　　识记强化
1．在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
2．利用单位圆定义求任意角的三角函数．设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；
(2)x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；
(3)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(x≠0)．
3．三角函数线
图中有向线段MP，OM，AT分别表示正弦线、余弦线和正切线．
　　课时作业
一、选择题
1．已知有向线段MP、OM、AT分别是60°角的正弦线，余弦线，正切线，则一定有(　　)
A．MP＜OM＜AT
B．OM＜MP＜AT
C．AT＜OM＜MP
D．OM＜AT＜MP
答案：B
解析：画出三角函数线可作出判断．
2．下列判断错误的是(　　)
A．角α一定时，单位圆中的正弦线一定
B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．角α与角α＋π有相同的正切线
D．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上
答案：B
3．已知角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异，那么α的值为(　　)
A.　　B.
C. D.或
答案：D
解析：依题意，角α的终边是第二、四象限角的平分线．
4．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边(　　)
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在直线y＝x上 D．在直线y＝－x上
答案：B
解析：当角α的正弦线的长度为单位长度，即单位圆的半径，此时角α的终边在y轴上．
5．sin1，cos1，tan1的大小关系是(　　)
A．sin1＜cos1＜tan1
B．sin1＞tan1＞cos1
C．cos1＜sin1＜tan1
D．tan1＜sin1＜cos1
答案：C
解析：作出角1的正弦线MP，余弦线OM和正切线AT，比较大小可知：OM＜MP＜AT.所以sin1、cos1、tan1从小到大排列顺序为cos1＜sin1＜tan1(如图所示)．
6．在(0,2π)内，使sinα>cosα成立的α的取值范围是(　　)
A.∪
B.
C.
D.∪
答案：C
解析：如图所示，当α∈时，恒有MP>OM，而当α∈∪时，则是MP二、填空题
7．若sinα≥，则α的取值范围是________．
答案：{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}
解析：如图作直线y＝交单位圆于A，B两点，
连结OA，OB，则图中的阴影部分即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的取值范围为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sinα>0，cosα≤0，则实数a的取值范围是________．
答案：(－2,3]
解析：∵点(3a－9，a＋2)在角α的终边上，sinα>0，cosα≤0，∴，解得－29．观察角α从0°增大到360°时正弦线长度的变化，填写空格：
①当α从0°逐渐增大到90°时，sinα从________逐渐________到________；
②当α从90°逐渐增大到180°时，sinα从________逐渐________到________；
③当α从180°逐渐增大到270°时，sinα从________逐渐________到________；
④当α从270°逐渐增大到360°时，sinα从________逐渐________到________．
答案：①0，增大，1；②1，减小，0；③0，减小，－1；④－1，增大，0.
三、解答题
10．利用三角函数线比较sin，cos，tan的大小．
解：如图所示：
由图可知cos<0，tan>0，
sin>0，且tan＝tan，∵0<<，sin11．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合．
(1)sinx>－且cosx>；
(2)tanx≥－1.
解：
(1)由图①，知当sinx>－且cosx>时，
角x满足的集合为
.
(2)由图②，知当tanx≥－1时，角x满足的集合为
∪x2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z，
即.
　　能力提升
12．如果<θ<，那么下列各式中正确的是(　　)
A．cosθB．sinθC．tanθD．cosθ答案：D
解析：如图所示，由三角函数线易知，
cosθsinθ>sin＝，tanθ>tan＝1.
13．已知0<α<，求证：
(1)sinα＋cosα>1；
(2)sinα<α证明：如图所示，设α的终边与单位圆交于P，作PM⊥x轴于M，过点A(1,0)作AT⊥x轴，交α的终边于T，则sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.
(1)在△OMP中，
∵OM＋MP>OP，∴sinα＋cosα>1.
(2)连接PA，
则S△POA＝OA·MP，S扇形AOP＝OA2·α，
S△OTA＝OA·AT.又∵S△POA∴OA·MP∴MP<α