高中数学必修4：第27课时 两角差的余弦公式 Word版含解析

第27课时　两角差的余弦公式
　　　　　　课时目标
　掌握两角差的余弦公式及推导，能用公式进行简单的恒等变形．
　　识记强化
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
　　课时作业
一、选择题
1．cos(－75°)的值是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：cos(－75°)＝cos(45°－120°)＝cos45°·cos120°＋sin45°sin120°＝×＋×＝，故选C.
2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cosα＝，sinβ＝－，则cos(α－β)的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案：A
解析：∵α为锐角，且cosα＝，∴sinα＝＝.∵β为第三象限角，且sinβ＝－，∴cosβ＝－＝－，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－.故选A.
3．已知锐角α，β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
答案：A
解析：∵α，β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴sinα＝，sin(α＋β)＝，∴cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝.
4．在△ABC中，若sinAsinBA．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
答案：D
解析：由题意，得cosAcosB－sinAsinB>0.
即cos(A＋B)>0，－cosC>0，cosC<0.
又05．已知α，β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，则α－β等于(　　)
A. B．－
C. D．－
答案：B
解析：因为α，β均为锐角，所以sinα＝，sinβ＝.
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝
又∵sinα∴－<α－β<0.故α－β＝－.
6．若cos＝，x∈，则cosx的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：∵x∈，∴∈.
∴sin＝－.
∴cosx＝cos＝coscos＋sinsin＝＝.
二、填空题
7．－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝________.
答案：cos1°
解析：－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝－sin40°·(－sin39°)＋cos40°cos39°＝cos(40°－39°)＝cos1°.
8．已知α是第二象限角，sin＝－，则cosα＝________.
答案：－
解析：因为α是第二象限角，sin＝－<0，所以α＋是第三象限角，
所以cos＝－，
所以cosα＝cos＝
cos＋sin＝－.
9．若a＝(cos60°，sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，则a·b＝________.
答案：
解析：a·b＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝.
三、解答题
10．已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，求角β的大小．
解：因为sin(π－α)＝，所以sinα＝.
因为0<α<，所以cosα＝＝.
因为cos(α－β)＝，且0<β<α<，所以0<α－β<，
所以sin(α－β)＝＝.
所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.
因为0<β<，
所以β＝.
11．已知函数f(x)＝－cos2xcos＋sin2xsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若<α<β<，f(α)＝，且f(β)＝，求角2β－2α的大小．
解：(1)因为f(x)＝－cos2xcos＋sin2xsin，
所以f(x)＝cos2xcos＋sin2xsin＝cos，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(α)＝，且f(β)＝，
所以cos＝，
cos＝.
又<α<β<，所以2α－，2β－∈，
所以sin＝＝，sin＝＝，
所以cos(2β－2α)
＝cos
＝coscos＋
sinsin
＝×＋×＝.
又<α<β<，所以0<2β－2α<，所以2β－2α＝.
　　能力提升
12．若cos(α－β)＝，cos2α＝，且α、β均为锐角，α<β，则α＋β的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：∵0<α<，0<β<，α<β，∴－<α－β<0.
又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝－＝－.
又∵0<2α<π，cos2α＝，
∴sin2α＝＝，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝×＋×＝－.
又0<α＋β<π，故α＋β＝.
13．已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的取值范围．
解：由sinα＋sinβ＝，平方得，
sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝，　　①
设cosα＋cosβ＝m，平方得，
cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝m2, ②
由①＋②，得sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＋cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝m2＋，
整理得，m2＝＋2cos(α－β)．
又由于cos(α－β)∈[－1,1]，m2>0，
所以0≤m2≤，解得－≤m≤.
∴cosα＋cosβ的取值范围是.