高中数学必修四课时训练 平面向量的数量积 2.4.1 Word版含答案

2.4　平面向量的数量积
2．4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义
课时目标　1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握向量数量积的运算律．
1．平面向量数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量______________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．
(2)规定：零向量与任一向量的数量积为____．
(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是____________，向量b在a方向上的投影是______________．
2．数量积的几何意义
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________________的乘积．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝________(交换律)；
(2)(λa)·b＝________＝________(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝______________________(分配律)．
一、选择题
1．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于(　　)
A．－3B．－2C．2D．－1
2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于(　　)
A.B．－C．±D．1
3．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于(　　)
A．0B．2C．4D．8
4．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于(　　)
A．－B．0C.D．3
5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　)
A．30°B．60°C．120°D．150°
6．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为(　　)
A．2B．4C．6D．12
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．
8．给出下列结论：
①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.
其中正确结论的序号是________．
9．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝________.
10．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．
三、解答题
11．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．
12．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.
能力提升
13．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．
14．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．
3．向量b在a上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分．
2.4　平面向量的数量积
2．4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义
答案
知识梳理
1．(1)|a||b|cosθ　(2)0　(3)|a|cosθ　|b|cosθ
2．|b|cosθ　3.(1)b·a　(2)λ(a·b)　a·(λb)　(3)a·c＋b·c
作业设计
1．D　[a在b方向上的投影是
|a|cosθ＝2×cos120°＝－1.]
2．A　[∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0.
∴λ＝.]
3．B　[|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2.]
4．A　[a·b＝·＝－·＝－||||cos60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－.]
5．C　[由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，
设a与b的夹角为θ，
∴2|a||b|cosθ＋|b|2＝0.
∴cosθ＝－＝－＝－，∴θ＝120°.]
6．C　[∵a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2|a|，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72.
∴|a|＝6.]
7．0
解析　b·(2a＋b)＝2a·b＋|b|2
＝2×4×4×cos120°＋42＝0.
8．④
解析　因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
④正确，a·[b(a·c)－c(a·b)]
＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0.
9．120°
解析　∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2.
又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，
即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2.
∴cos〈a，b〉＝－，
∴〈a，b〉＝120°.
10．[0,1]
解析　b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，
∴|b|＝|a|cosθ＝cosθ (θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，
∴0≤|b|≤1.
11．解　(1)当a∥b时，若a与b同向，
则a与b的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝4×3×cos0°＝12.
若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos180°＝4×3×(－1)＝－12.
(2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°，
∴a·b＝|a||b|cos90°＝4×3×0＝0.
(3)当a与b的夹角为60°时，
∴a·b＝|a||b|cos60°＝4×3×＝6.
12．解　a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×＝.
|a＋b|＝＝＝＝5.
|a－b|＝＝＝＝5.
13．解　(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2＝2×12＋1×1×cos120°－12＝.
|a＋b|＝＝＝＝1.
∴|2a－b|cos〈2a－b，a＋b〉＝|2a－b|·＝＝.
∴向量2a－b在向量a＋b方向上的投影为.
14．解　∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝＝＝，
|b|＝|2n－3m|＝＝＝＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.