1.3 算法案例
课时目标 通过三种算法案例：辗转相除法与更相减损术，秦九韶算法，进位制，进一步体会算法的思想，提高算法设计水平，体会中国古代数学对世界的贡献．
1．辗转相除法
(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．
(2)辗转相除法的算法步骤
第一步，给定两个正整数m，n.
第二步，计算m除以n所得的余数r.
第三步，m＝n，n＝r.
第四步，若r＝0，则m、n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．
2．更相减损术
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
3．秦九韶算法
把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：
(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v2＝v1x＋an－2，
v3＝v2x＋an－3，
…
vn＝vn－1x＋a0
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．
4．进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.
把十进制转化为k进制数时，通常用除k取余法．
一、选择题
1．下列说法中正确的个数为( )
(1)辗转相除法也叫欧几里得算法；
(2)辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；
(3)求最大公约数的方法，除辗转相除法之外，没有其他方法；
(4)编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．
A．1 B．2C．3 D．4
答案 C
解析 (1)、(2)、(4)正确，(3)错误．
2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是( )
A．2 B．3C．4 D．5
答案 C
解析 由于294和84都是偶数，
所以用2约简：
294÷2＝147，
84÷2＝42，
又由于147不是偶数，
所以147－42＝105，
105－42＝63，
63－42＝21，
42－21＝21，
故需做4次减法，故选C.
3．1 037和425的最大公约数是( )
A．51 B．17C．9 D．3
答案 B
解析 ∵1 037＝425×2＋187，
425＝187×2＋51，
187＝51×3＋34，
51＝34×1＋17，
34＝17×2，
即1 037和425的最大公约数是17.
4．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为( )
A．10 B．9C．12 D．8
答案 C
解析 f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7
∴加法6次，乘法6次，
∴6＋6＝12(次)，故选C.
5．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为( )
A．27 B．11C．109 D．36
答案 D
解析 将函数式化成如下形式．
f(x)＝(((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1
由内向外依次计算：
v0＝1，
v1＝1×3＋0＝3，
v2＝3×3＋2＝11，
v3＝11×3＋3＝36，
v4＝36×3＋1＝109，
v5＝109×3＋1＝328.
6．下列有可能是4进制数的是( )
A．5 123 B．6 542C．3 103 D．4 312
答案 C
解析 4进制数每位上的数字一定小于4，故选C.
二、填空题
7．辗转相除法程序中有一空请填上．
答案 a MOD b
解析 MOD用来表示a除以b的余数．
8．更相减损术程序中有两空请填上．
答案 a＝b b＝r
9．已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，将它们按由小到大的顺序排列为________．
答案 33(4)<12(16)<25(7)
解析 将三个数都化为十进制数．
12(16)＝1×16＋2＝18，
25(7)＝2×7＋5＝19，
33(4)＝3×4＋3＝15，
∴33(4)<12(16)<25(7)．
三、解答题
10．用两种方法求210与98的最大公约数．
解 用辗转相除法：
210＝98×2＋14，
98＝14×7.
∴210与98的最大公约数为14.
用更相减损术：
∵210与98都是偶数，用2约简得
105和49，
105－49＝56,56－49＝7，
49－7＝42,42－7＝35，
35－7＝28,28－7＝21，
21－7＝14,14－7＝7.
∴210与98的最大公约数为2×7＝14.
11．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．
解 将f(x)改写为
f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64
由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值
v0＝1，
v1＝1×2－12＝－10，
v2＝－10×2＋60＝40，
v3＝40×2－160＝－80，
v4＝－80×2＋240＝80，
v5＝80×2－192＝－32，
v6＝－32×2＋64＝0.
∴f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.
能力提升
12．把111化为五进制数．
解
∴111化为五进制数为421(5)．
13．把10 231(5)化为四进制数．
解 先化成十进制数．
10 231(5)＝1×54＋0×53＋2×52＋3×51＋1
＝625＋50＋15＋1
＝691
再化为四进制数
∴10 231(5)＝22 303(4).
1．辗转相除法与更相减损术的区别和联系
(1)都是求最大公约数的方法．
(2)二者的实质都是递归的过程．
(3)二者都要用循环结构来实现．
2．秦九韶算法的特点
秦九韶算法的特点在于把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，即把求f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值转化为求递推公式：
这样可以最多计算n次乘法和n次加法即可得多项式的值，和直接代入多项式相比减少了乘法的运算次数，提高了运算效率．
3．十进制与其他进制的转化
(1)将k进制转化为十进制的方法：先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积的形
式，再按十进制的运算规则计算．
(2)将十进制化成k进制的方法：用除k取余法，用k连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后将各步所得的余数倒序写出，即为相应的k进制数．