明目标、知重点
会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)．
1．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则( )
A．b≤0 B．b<2
C．b≥2 D．b>2
答案 A
2．已知y＝asin x＋sin 3x在x＝处有极值，则( )
A．a＝－2 B．a＝2
C．a＝ D．a＝0
答案 B
3．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间0,1]上的最小值为( )
A．－1 B．0 C．－ D.
答案 C
解析 g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，
解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：
x
0
1
g′(x)
－
0
＋
g(x)
0
极小值
0
所以当x＝时，
g(x)有最小值g＝－.
4.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
答案 D
解析 应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象．
5．若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f′(x)<0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的________________条件．
答案 充分不必要
解析 对于导数存在的函数f(x)，
若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内单调递减，反过来，函数f(x)在(a，b)内单调递减，不一定恒有f′(x)<0，
如f(x)＝－x3在R上是单调递减的，
但f′(x)≤0.
题型一 函数与其导函数之间的关系
例1 对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{}的前n项和的公式是________．
答案 2n＋1－2
解析 由k＝y′|x＝2＝－2n－1(n＋2)，得切线方程为y＋2n＝－2n－1(n＋2)(x－2)，
令x＝0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0＝(n＋1)2n，所以＝2n，
则数列{}的前n项和Sn＝＝2n＋1－2.
反思与感悟 找切点，求斜率是求切线方程的关键．
跟踪训练1 如图，曲线y＝f(x)上任一点P的切线PQ交x轴于Q，过P作PT垂直于x轴于T，若△PTQ的面积为，则y与y′的关系满足( )
A．y＝y′
B．y＝－y′
C．y＝y′2
D．y2＝y′
答案 D
解析 S△PTQ＝×y×|QT|＝，∴|QT|＝，Q(x－，0)，根据导数的几何意义，
kPQ＝＝y′∴y2＝y′.故选D.
题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值
例2 已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间及极值；
(3)当x∈1,5]时，求函数的最值．
解 ∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
得－ax3＋(a－1)x2－48(a－2)x＋b＝－ax3－(a－1)x2－48(a－2)x－b，
于是2(a－1)x＋2b＝0恒成立，∴，解得a＝1，b＝0；
(2)由(1)得f(x)＝x3－48x，
∴f′(x)＝3x2－48＝3(x＋4)(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4，令f′(x)<0，得－4
∴f(x)的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，
∴f(x)极大＝f(－4)＝128，f(x)极小＝f(4)＝－128.
(3)由(2)知，函数在1,4]上单调递减，在4,5]上单调递增，对f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，所以函数的最大值为－47，最小值为－128.
小结 (1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f′(x)>0得增区间，解f′(x)<0得减区间．
(2)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．
(3)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．
跟踪训练2 已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求a，b的值；
(2)求函数的极小值；
(3)求函数在－1,1]的最值．
解 y′＝3ax2＋2bx，当x＝1时，y′|x＝1＝3a＋2b＝0，
y|x＝1＝a＋b＝3，
即，a＝－6，b＝9.
(2)y＝－6x3＋9x2，y＝－18x2＋18x，令y＝0，得x＝0，或x＝1，
∴y极小值＝y|x＝0＝0.
(3)由(1)知，函数y＝f(x)＝－6x3＋9x2，又f(－1)＝15，f(0)＝0，f(1)＝3，所以函数的最大值为15，最小值为0.
题型三 导数的综合应用
例3 已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
解 (1)f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立．
即3x2－a≥0在R上恒成立．
即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.
当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意．
所以a的取值范围是(－∞，0]．
(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，
则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．
即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，
又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3.
当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意，
所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是3，＋∞)．
反思与感悟 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立来求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若不能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)能恒等于0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围来确定．
跟踪训练3 (1)若函数f(x)＝4x3－ax＋3的单调递减区间是，则实数a的值是多少？
(2)若函数f(x)＝4x3－ax＋3在上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？
解 (1)f′(x)＝12x2－a，
∵f(x)的单调递减区间为，
∴x＝±为f′(x)＝0的两个根，∴a＝3.
(2)若f(x)在上为单调增函数，则f′(x)≥0在上恒成立，
即12x2－a≥0在上恒成立，
∴a≤12x2在上恒成立，
∴a≤(12x2)min＝0.
当a＝0时，f′(x)＝12x2≥0恒成立(只有x＝0时f′(x)＝0)．
∴a＝0符合题意．
若f(x)在上为单调减函数，
则f′(x)≤0在上恒成立，
即12x2－a≤0在上恒成立，
∴a≥12x2在上恒成立，
∴a≥(12x2)max＝3.
当a＝3时，f′(x)＝12x2－3＝3(4x2－1)≤0恒成立(且只有x＝±时f′(x)＝0)．
因此，a的取值范围为a≤0或a≥3.
1．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，只需y′＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，即Δ＝4－12m≤0，
∴m≥.
2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )
答案 D
解析 若函数在给定区间上是增函数，则y＝f′(x)>0，若函数在给定区间上是减函数，则y＝f′(x)<0.
3．设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a
C．f(x)g(b)>f(b)g(x) D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
答案 C
解析 由条件，得′＝<0.
∴在(a，b)上是减函数．
∴<<，
∴f(x)g(b)>f(b)g(x)．
4．函数f(x)＝x3－x2－2x＋5，若对于任意x∈－1,2]，都有f(x)
解析 f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，
得x＝－或x＝1.
可判断求得f(x)max＝f(2)＝7.
∴f(x)
呈重点、现规律]
导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．
一、基础过关
1．函数f(x)＝xcos x的导函数f′(x)在区间－π，π]上的图象大致是( )
答案 A
解析 ∵f(x)＝xcos x，
∴f′(x)＝cos x－xsin x.
∴f′(－x)＝f′(x)，∴f′(x)为偶函数，
∴函数图象关于y轴对称，排除C选项．
由f′(0)＝1可排除D选项．
而f′(1)＝cos 1－sin 1<0，
从而观察图象即可得到答案为A.
2．函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间内是增函数( )
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
答案 B
解析 y′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，若y＝f(x)在某区间内是增函数，只需在此区间内y′恒大于或等于0即可．
∴只有选项B符合题意，当x∈(π，2π)时，y′≥0恒成立．
3．已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋>0在(0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(2)
答案 D
解析 由y＝f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都为减函数，
∴在(－∞，0)，(0，＋∞)上，
f′(x)<0恒成立，故D正确．
5．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在1，＋∞)上单调递增，则a的最大值为________．
答案 3
解析 由题意知，f′(x)＝3x2－a≥0(x≥1)，
∴a≤3x2，∴a≤3.
6．若函数y＝x3＋x2＋m在－2,1]上的最大值为，则m＝________.
答案 2
解析 y′＝′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)．
由y′＝0，得x＝0或x＝－1.
∴f(0)＝m，f(－1)＝m＋.
又∵f(1)＝m＋，f(－2)＝－8＋6＋m＝m－2，
∴f(1)＝m＋最大．
∴m＋＝.∴m＝2.
二、能力提升
7．已知函数f(x)、g(x)均为a，b]上的可导函数，在a，b]上连续且f′(x)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
答案 A
解析 设F(x)＝f(x)－g(x)，
F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在a，b]上为减函数，
∴当x＝a时，F(x)取最大值f(a)－g(a)．
8．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有( )
A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0
答案 B
解析 由已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．
∵x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，
∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．
∴x<0时，f(x)递增，g(x)递减．
∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.
9．已知函数f(x)＝x3－ax2＋b(a，b为实数，且a>1)在区间－1,1]上的最大值为1，最小值为－2，则f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝x3－2x2＋1
10．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x＋6，若x＝3是f(x)的一个极值点，求f(x)在0，a]上的最值．
解 f′(x)＝3x2－2ax＋3，由已知得f′(3)＝0，
∴3×9－6a＋3＝0.∴a＝5，
∴f(x)＝x3－5x2＋3x＋6.
令f′(x)＝3x2－10x＋3＝0，
得x1＝，x2＝3.
则x，f′(x)，f(x)的变化关系如下表.
x
0
3
(3,5)
5
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
6
递增
6
递减
－3
递增
21
∴f(x)在0,5]上的最大值为f(5)＝21，
最小值为f(3)＝－3.
11．设函数f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤2x－2.
(1)解 f′(x)＝1＋2ax＋.
由已知条件得即
解得
(2)证明 因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知f(x)＝x－x2＋3ln x.
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x，
则g′(x)＝－1－2x＋＝－.
当0
当x>1时，g′(x)<0.
所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．
而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.
三、探究与拓展
12．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．
解 当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，
f′(x)＝(－x2＋2)ex.
当f′(x)>0时，(－x2＋2)ex>0，注意到ex>0，
所以－x2＋2>0，解得－
同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．
(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，
所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．
又f′(x)＝－x2＋(a－2)x＋a]ex，
即－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex>0，
因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，
也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．
设y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，
即y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，
则y<1＋1－＝，故a≥.