高中数学必修3第二章 抽样 Word版含解析


重点列表：
重点
名称
重要指数
重点1
简单随机抽样
★★★
重点2
分层抽样
★★★★
重点详解：
1．简单随机抽样
(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个________地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会________，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样方法有两种：________法和________法．
抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体________，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取______个号签，连续抽取________次，就得到一个容量为n的样本．
随机数法：随机数法就是利用______________、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．
简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的．
2．系统抽样
(1)一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：
①先将总体的N个个体________．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；
②确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝，如果遇到不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除；
③在第1段用______________抽样方法确定第一个个体编号l(l≤k)；
④按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上________得到第2个个体编号________，再________得到第3个个体编号________，依次进行下去，直到获取整个样本．
(2)当总体中元素个数较少时，常采用____________，当总体中元素个数较多时，常采用______________．
3．分层抽样
(1)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成________的层，然后按照一定的________，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)当总体是由__________的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是________的．
【答案】
1．(1)不放回　都相等
(2)抽签　随机数　编号　1　n　随机数表
2．(1)①编号　③简单随机
④间隔k　(l＋k)　加k　(l＋2k)
(2)简单随机抽样　系统抽样
3．(1)互不交叉　比例　(2)差异明显　(3)均等
重点1：简单随机抽样
【要点解读】
1、简单随机抽样对于总体比较少的情况比较适用
2、要注意“搅拌均匀”
3、用随机数表法要注意编号的方法
【考向1】抽签法
【例题】某大学为了支援我国西部教育事业，决定从应届毕业生报名的18名志愿者中选取6名组成志愿小组．请用抽签法和随机数表法设计抽样方案．
解：(抽签法)
第一步：将18名志愿者编号，编号为1，2，3，…，18；
第二步：将18个号码分别写在18张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；
第三步：将18个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀；
第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号；
第五步：所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．
(随机数表法)
第一步：将18名志愿者编号，编号为01，02，03，…，18；
第二步：在随机数表中任选一数作为开始，按任意方向读数，比如从第8行第29列的数7开始，向右读；
第三步：从数7开始，向右读，每次取两位，凡不在01～18中的数或已读过的数，都跳过去不作记录，依次可得到12，07，15，13，02，09；
第四步：找出以上号码对应的志愿者，即是志愿小组的成员．
【评析】考虑到总体中个体数较少，利用抽签法或随机数表法很容易获取样本，但须按这两种抽样方法的操作步骤进行．注意掌握随机数表的使用方法．　
【考向2】随机数表法
【例题】有一批机器，编号为1，2，3，…，112，为调查机器的质量问题，打算抽取10台入样，请写出用简单随机抽样方法获得样本的步骤．
解法一：将112个外形完全相同的号签(编号001，002，…，112)放入一个不透明的盒子里，充分搅拌均匀后，每次不放回地从盒子中抽取1个号签，连续抽取10次，就得到1个容量为10的样本．
解法二：第一步，将机器编号为001，002，003，…，112；
第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如选第9行第7个数“3”，向右读；
第三步，从“3”开始，向右读，每次读取三位，凡不在001～112中的数跳过去不读，前面已经读过的数也跳过去不读，依次可得到074，100，094，052，080，003，105，107，083，092，这样就得到一个容量为10的样本；
第四步，找出以上号码对应的机器，即是要抽取的样本．
重点2：分层抽样
【要点解读】
分层抽样对于个体差异比较明显的情况比较适用
特别注意抽样比的应用
【考向1】分层抽样的步骤
【例题】某企业共有5个分布在不同区域的工厂，职工3万人，其中职工比例为3∶2∶5∶2∶3.现从3万人中抽取一个300人的样本，分析员工的生产效率．已知生产效率与不同的地理位置的生活习俗及文化传
【评析】分层抽样的实质为按比例抽取，当总体由差异明显的几部分组成时，多用分层抽样．应认识到，在各层抽取样本时，又可能会用到简单随机抽样，系统抽样，甚至分层抽样来抽取样本．
【考向2】分层抽样的应用
【例题】某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．
解：设从小学、中学、大学分别抽取x，y，z所，且x∶y∶z＝150∶75∶25＝6∶3∶1，则x＝30×＝18(所)，
y＝30×＝9(所)．故填18；9.
难点列表：
难点
名称
难度指数
难点1
系统抽样
★★★★
难点2
抽样方法的选择与计算
★★★★
难点详解：
抽样方法经常交叉使用，比如系统抽样中均匀分段后的第一段，可采用简单随机抽样；分层抽样中，若每层中个体数量仍很大时，则可辅之以系统抽样等．
三种抽样方法的比较
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽取的概率相等
从总体中逐个抽样
总体中的个体数较少
系统
抽样
将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体中的个体数较多
分层
抽样
将总体分成几层，分层进行抽取
分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
难点1：系统抽样
【要点解读】
系统抽样又称等距抽样，号码序列一旦确定，样本即确定好了．但要注意，如果编号的个体特征随编号的变化呈现一定的周期性，那么样本的代表性是不可靠的，甚至会导致明显的偏向．
【考向1】系统抽样步骤
【例题】从某厂生产的10002辆汽车中随机抽取100辆测试某项性能，请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．
解：因为总体容量和样本容量都较大，可用系统抽样．
抽样步骤如下：
第一步，将10002辆汽车用随机方式编号；
第二步，从总体中剔除2辆(剔除法可用随机数表法)，将剩下的10000辆汽车重新编号(分别为00001，00002，…，10000)，并分成100段；
第三步，在第一段00001，00002，…，00100这100个编号中用简单随机抽样方法抽出一个作为起始号码(如00006)；
第四步，把起始号码依次加上间隔100，可获得样本．
【评析】①总体容量和样本容量都较大时，选用系统抽样比较合适；②系统抽样的号码成等差数列，公差为每组的容量．
【考向2】系统抽样的应用
【例题】某单位有840名职工， 现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查， 将840人按1, 2, … , 840随机编号， 则抽取的42人中， 编号落入区间481, 720]的人数为(　　)
A．11 B．12 C．13 D．14
难点2：抽样方法的选择与计算
【要点解读】
分层抽样和系统抽样中的计算
(1)系统抽样
总体容量为N，样本容量为n，则要将总体均分成n组，每组个(有零头时要先去掉)．
若第一组抽到编号为k的个体，则以后各组中抽取的个体编号依次为k＋，…，k＋(n－1).
(2)分层抽样
按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比＝总体中各层的数量之比．
【考向1】系统抽样的计算
【例题】采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间1，450]的人做问卷A，编号落入区间451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为(　　)
A．7 B．9 C．10 D．15
【解析】　由题意，可知系统抽样中每一组的样本数为＝30，因为第一组抽取的样本号码为9，所以第k组抽取的号码为9＋30×(k－1)．由451≤9＋30×(k－1)≤750，得16≤k≤25(k∈Z)，所以k＝16，17，…，25，共10个，即应该有10人做问卷B.
【答案】　C　
【考向2】分层抽样的计算
已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　)
A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10
【答案】　A
【名师点睛】
解题(1)的关键是掌握系统抽样的原理及步骤；
题(2)在扇形统计图中，根据抽取的比例计算样本容量，根据条形统计图计算抽取的高中生近视人数．
【趁热打铁】
1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查 ，则宜采用的抽样方法是(　　)
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法 D．分层抽样法
2．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．
③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
较为合理的抽样方法是(　　)
A．①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样
B．①简单随机抽样；②分层抽样；③系统抽样
C．①系统抽样；②简单随机抽样；③分层抽样
D．①分层抽样；②系统抽样；③简单随机抽样
3．从2006名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2006人中剔除6人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率(　　)
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等，且为 D．都相等，且为
4．要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则选取的男生人数是(　　)
A．4 B．6 C．2 D．1
5．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A. 08 B．07 C．02 D．01
6．将参加夏令营的600名学生编号为001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为(　　)
A．25，17，8 B．25，16，9
C．26，16，8 D．24，17，9
7．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有________人．
8．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从第一部分随机抽取一个号码0015，则第40个号码为________．
9．为了考察某校的教学水平，将抽查该校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察．为了全面地反映实际情况，采用以下三种方式进行抽样(已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同)：①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)．根据上面的叙述，回答下列问题：
(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？
(2)上面三种抽取方式中各自采用了何种抽取样本的方法？
10．某公司有1000名员工，其中：高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工为800名，属于低收入者．要对这个公司员工的收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当怎样进行抽样？
第二章
1解：由题意，男、女生需要按比例抽样，所以需要分层抽样．故选D.
2解：由各抽样方法的适用范围可知较为合理的抽样方法是：①用简单随机抽样，②用系统抽样，③用分层抽样．故选A.
3解：抽样过程中每个个体被抽取的机会均等，概率相等，题中的抽取过程与从2006人中抽取50人，每人入选的概率相同，其概率为＝.故选C.
4解：依题意得从10名女生和5名男生中选出6名学生，按性别分层抽样时，女生选4名，男生选2名，故选A.
5解：从选定的两位数字开始向右读，剔除不合题意及与前面重复的编号，得到符合题意的编号分别为08，02，14，07，01，…，因此选出来的第5个个体的编号为01.故选D.
6解：依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300得k≤，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300＜3＋12(k－1)≤495得＜k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；同理可知第Ⅲ营区被抽中的人数是8.故选A.
8解：系统抽样号码构成一个等差数列，公差为每组编号个数，所以第40个号码为0015＋(40－1)×＝0795.故填0795.
9解：(1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中，样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.
(2)第一种采用简单随机抽样法；第二种采用系统抽样法和简单随机抽样法；第三种采用分层抽样法和简单随机抽样法．
10解：可以采用分层抽样的方法，按照收入水平分成三层：高收入者、中等收入者、低收入者．从题中数据可以看出，高收入者为50名，占所有员工的比例为＝5%，为保证样本的代表性，在所抽取的100名员工中，高收入者所占的比例也应为5%，数量为100×5%＝5，所以应抽取5名高层管理人员．同理，抽取15名中层管理人员、80名一般员工，再对收入状况分别进行调查．