高中数学必修四模块综合检测（A） Word版含答案

模块综合检测(A)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知△ABC中，tanA＝－，则cosA等于(　　)
A.B.C．－D．－
2．已知向量a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)，若a⊥b，则实数k等于(　　)
A.B．－2C．－7D．3
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)
A．－16B．－8C．8D．16
4．已知sin(π－α)＝－2sin(＋α)，则sinαcosα等于(　　)
A.B．－
C.或－D．－
5．函数y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为(　　)
A．y＝－4sin
B．y＝4sin
C．y＝－4sin
D．y＝4sin
6．若|a|＝2cos 15°，|b|＝4sin 15°，a，b的夹角为30°，则a·b等于(　　)
A.B.C．2D.
7．为得到函数y＝cos(x＋)的图象，只需将函数y＝sinx的图象(　　)
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)
A.B.C．－D．－
9．若2α＋β＝π，则y＝cosβ－6sinα的最大值和最小值分别是(　　)
A．7,5B．7，－
C．5，－D．7，－5
10．已知向量a＝(sin(α＋)，1)，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin(α＋)等于(　　)
A．－B．－C.D.
11．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于(　　)
A．4B．6C．8D．12
12．已知向量＝(2,0)，＝(2,2)，＝(cosα，sinα)，则与夹角的范围是(　　)
A.B.
C.D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．sin2010°＝________.
14．已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝(θ为锐角)，且a∥b，则tanθ＝________.
15．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在上的投影为________．
16．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ≤)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点(2，－)，则函数f(x)＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知向量a＝(sinx，)，b＝(cosx，－1)．
(1)当a∥b时，求2cos2x－sin2x的值；
(2)求f(x)＝(a＋b)·b在[－，0]上的最大值．
18．(12分)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.
19．(12分)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，)．
(1)求sinθ和cosθ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cosφ，0<φ<，求cosφ的值．
20．(12分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，]上的最小值．
21．(12分)已知函数f(x)＝.
(1)求f(－π)的值；
(2)当x∈[0，)时，求g(x)＝f(x)＋sin2x的最大值和最小值．
22．(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若0<α<，－<β<0，且sinβ＝－，求sinα.
模块综合检测(A)
答案
1．D　[∵cos2A＋sin2A＝1，且＝－，
∴cos2A＋(－cosA)2＝1且cosA<0，
解得cosA＝－.]
2．D　[∵a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)．
∴b＝(a＋b)－a＝(1，k)－(2,1)＝(－1，k－1)．
∵a⊥b.∴a·b＝－2＋k－1＝0
∴k＝3.]
3．D　[·＝(＋)·＝2＋·＝2＋0＝16.]
4．B　[∵sin(π－α)＝－2sin(＋α)
∴sinα＝－2cosα.∴tanα＝－2.
∴sinαcosα＝＝＝＝－.]
5．A　[由图可知，A＝4，且
，解得.
∴y＝4sin(x－)＝－4sin(x＋)．]
6．B　[由cos30°＝得
＝＝
∴a·b＝，故选B.]
7．C　[y＝cos(x＋)＝sin(x＋＋)＝sin(x＋)，
∴只需将函数y＝sinx的图象向左平移个长度单位，即可得函数y＝cos(x＋)的图象．]
8．A　[由于＝2，
得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
结合＝＋λ，知λ＝.]
9．D　[∵β＝π－2α，∴y＝cos(π－2α)－6sinα
＝－cos 2α－6sin α＝2sin2α－1－6sin α
＝2sin2α－6sin α－1＝22－
当sinα＝1时，ymin＝－5；当sinα＝－1时，ymax＝7.]
10．B　[a·b＝4sin(α＋)＋4cosα－＝2sinα＋6cosα－＝4sin(α＋)－＝0，
∴sin(α＋)＝.
∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－，故选B.]
11．B　[将f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位，若与原图象重合，则为函数f(x)的周期的整数倍，不妨设＝k·(k∈Z)，得ω＝4k，即ω为4的倍数，故选项B不可能．]
12．C　[
建立如图所示的直角坐标系．
∵＝(2,2)，＝(2,0)，
＝(cosα，sinα)，
∴点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，为半径的圆．
过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连结CM、CN，如图所示，则向量与的夹角范围是∠MOB≤〈，〉≤∠NOB.
∵||＝2，∴||＝||＝||，
知∠COM＝∠CON＝，但∠COB＝.
∴∠MOB＝，∠NOB＝，故≤〈，〉≤.]
13．－
解析　sin2010°＝sin(5×360°＋210°)＝sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－.
14．1
解析　∵a∥b，∴(1－sinθ)(1＋sinθ)－＝0.
∴cos2θ＝，
∵θ为锐角，∴cosθ＝，
∴θ＝，∴tanθ＝1.
15.
解析　＝(2,2)，＝(－1,3)．
∴在上的投影||cos〈，〉＝＝＝＝.
16．sin(＋)
解析　据已知两个相邻最高及最低点距离为2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，即f(x)＝sin(＋φ)，又函数图象过点(2，－)，故f(x)＝sin(π＋φ)＝－sinφ＝－，又－≤φ≤，解得φ＝，故f(x)＝sin(＋)．
17．解　(1)∵a∥b，∴cosx＋sinx＝0，
∴tanx＝－，
2cos2x－sin2x＝＝＝.
(2)f(x)＝(a＋b)·b＝sin(2x＋)．
∵－≤x≤0，∴－≤2x＋≤，
∴－1≤sin(2x＋)≤，
∴－≤f(x)≤，
∴f(x)max＝.
18．(1)解　因为a与b－2c垂直，
所以a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，
因此tan(α＋β)＝2.
(2)解　由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，得
|b＋c|＝＝≤4.
又当β＝－时，等号成立，
所以|b＋c|的最大值为4.
(3)证明　由tanαtanβ＝16得＝，所以a∥b.
19．解　(1)∵a·b＝0，∴a·b＝sinθ－2cosθ＝0，
即sinθ＝2cosθ.又∵sin2θ＋cos2θ＝1，
∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，∴sin2θ＝.
又θ∈(0，)，∴sinθ＝，cosθ＝.
(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝cosφ＋2sinφ＝3cosφ，
∴cosφ＝sinφ.
∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝.
又∵0<φ<，∴cosφ＝.
20．解　(1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx.
所以f(x)＝sinωxcosωx＋＝sin2ωx＋cos2ωx＋＝sin＋.
由于ω>0，依题意得＝π，所以ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋，
所以g(x)＝f(2x)＝sin＋.
当0≤x≤时，≤4x＋≤，
所以≤sin≤1.
因此1≤g(x)≤.
故g(x)在区间上的最小值为1.
21．解　(1)f(x)＝＝＝
＝＝2cos2x，
∴f(－)＝2cos(－)＝2cos＝.
(2)g(x)＝cos2x＋sin2x＝sin(2x＋)．
∵x∈[0，)，∴2x＋∈[，)．
∴当x＝时，g(x)max＝，当x＝0时，g(x)min＝1.
22．解　(1)∵|a|＝1，|b|＝1，
|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2＋|b|2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1＋1－2cos(α－β)，
|a－b|2＝()2＝，
∴2－2cos(α－β)＝得cos(α－β)＝.
(2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π.
由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，
由sinβ＝－得cosβ＝.
∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝×＋×(－)＝.