2.1.2 演绎推理
明目标、知重点
1．理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．
1．演绎推理
含义
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理
特点
由一般到特殊的推理
2.三段论
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理，对特殊情况做出的判断
S是P
情境导学]
小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中．由于每月的零花钱不够用，便向亲戚邻人要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财．但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？
探究点一 演绎推理与三段论
思考1 分析下面几个推理，找出它们的共同点．
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；
(3)三角函数都是周期函数，tan α是三角函数，因此tan α是周期函数；
(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.
答 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．
思考2 演绎推理有什么特点？
答 演绎推理是从一般到特殊的推理．演绎推理的前提是一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实．
思考3 演绎推理的结论一定正确吗？
答 在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的．
思考4 演绎推理一般是怎样的模式？
答 “三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：
(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
例1 将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；
(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．
解 (1)平行四边形的对角线互相平分， 大前提
菱形是平行四边形， 小前提
菱形的对角线互相平分． 结论
(2)等腰三角形的两底角相等， 大前提
∠A，∠B是等腰三角形的底角， 小前提
∠A＝∠B. 结论
(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列， 大前提
通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－2(n－1)＋3]＝2(常数)， 小前提
通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列． 结论
反思与感悟 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
跟踪训练1 把下列推断写成三段论的形式：
(1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形；
(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线；
(3)y＝sin x(x∈R)是周期函数．
解 (1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形， 大前提
△ABC三边的长依次为3,4,5，而32＋42＝52， 小前提
△ABC是直角三角形． 结论
(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线， 大前提
函数y＝2x＋5是一次函数， 小前提
函数y＝2x＋5的图象是一条直线． 结论
(3)三角函数是周期函数， 大前提
y＝sin x(x∈R)是三角函数， 小前提
y＝sin x(x∈R)是周期函数． 结论
探究点二 三段论推理中的易错点
例2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：
(1)整数是自然数， 大前提
－3是整数， 小前提
－3是自然数． 结论
(2)常函数的导函数为0， 大前提
函数f(x)的导函数为0， 小前提
f(x)为常函数． 结论
(3)无限不循环小数是无理数， 大前提
(0.333 33…)是无限不循环小数， 小前提
是无理数． 结论
解 (1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．
(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．
(3)结论是错误的，原因是小前提错误.(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数．
反思与感悟 演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确．
跟踪训练2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：
(1)因为中国的大学分布在中国各地，大前提
北京大学是中国的大学，小前提
所以北京大学分布在中国各地．结论
(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提
而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提
所以菱形是正多边形．结论
解 (1)推理形式错误．大前提中的M是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．(2)结论是错误的，原因是大前提错误．因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多边形才是正多边形．
探究点三 三段论的应用
例3 如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足，求证：AB的中点M到点D，E的距离相等．
证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形， 大前提
在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°， 小前提
所以△ABD是直角三角形． 结论
同理，△AEB也是直角三角形．
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 大前提
因为DM是直角三角形ABD斜边上的中线， 小前提
所以DM＝AB. 结论
同理EM＝AB.
所以DM＝EM.
反思与感悟 应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．如果大前提是显然的，则可以省略．
跟踪训练3 已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.
证明 三角形的中位线平行于底边，大前提
点E、F分别是AB、AD的中点，小前提
所以EF∥BD.结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行，大前提
EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提
EF∥平面BCD.结论
1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
D．在数列{an}中a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
答案 A
解析 A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理．
2．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”下列说法正确的是( )
A．大前提错误导致结论错误
B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误
D．大前提和小前提都错误导致结论错误
答案 A
解析 y＝logax是增函数错误．故大前提错．
3．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________；
小前提：____________；
结论：____________.
答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数y＝x2＋x＋1是二次函数 函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线
4.如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>BCD.
证明：在△ABC中，
因为CD⊥AB，AC>BC， ①
所以AD>BD, ②
于是∠ACD>∠BCD. ③
则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)
答案 ③
解析 由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．
呈重点、现规律]
1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．
2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.
一、基础过关
1．下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④
C．②④⑤ D．①③⑤
答案 D
解析 根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．
2．下列说法不正确的是( )
A．演绎推理是由一般到特殊的推理
B．赋值法是演绎推理
C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断
D．归纳推理的结论都不可靠
答案 D
3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
答案 C
解析 由于函数f(x)＝sin (x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．
4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
答案 B
解析 利用三段论分析：
大前提：矩形都是对角线相等的四边形；
小前提：四边形ABCD是矩形；
结论：四边形ABCD的对角线相等．
5．给出演绎推理的“三段论”：
直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)
已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；(小前提)
则直线b∥直线a.(结论)
那么这个推理是( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
答案 A
6．下列几种推理过程是演绎推理的是( )
A．5和2可以比较大小
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人
D．预测股票走势图
答案 A
7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.
证明 因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．
设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)．
二、能力提升
8．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a≥0；小前提是有意义；结论是__________________．
答案 y＝的定义域是4，＋∞)
解析 由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.
9．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确的命题个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B.
10．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：
其中为凸集的是______(写出所有凸集相应图形的序号)．
答案 ②③
11．用演绎推理证明函数f(x)＝|sin x|是周期函数．
证明 大前提：若函数y＝f(x)对于定义域内的任意一个x值满足f(x＋T)＝f(x)(T为非零常数)，则它为周期函数，T为它的一个周期．
小前提：f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)．
结论：函数f(x)＝|sin x|是周期函数．
12．设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数，求a的值．
解 ∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴(a－)(ex－)＝0对于一切x∈R恒成立，
由此得a－＝0，
即a2＝1.又a>0，
∴a＝1.
三、探究与拓展
13．设f(x)＝，g(x)＝(其中a>0且a≠1)．
(1)5＝2＋3请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；
(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．
解 (1)由f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝×＋×＝
又g(5)＝，因此，
g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．
(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，
即g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，
于是推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．
证明：因为f(x)＝，g(x)＝，(大前提)
所以g(x＋y)＝，
g(y)＝，f(y)＝，(小前提及结论)
所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝×＋×
＝＝g(x＋y).