课时目标 1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：____________________.
(2)商数关系：____________(α≠kπ＋，k∈Z)．
2．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：
sin2α＝________；cos2α＝________；
(sinα＋cosα)2＝____________________；
(sin α－cos α)2＝________________；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝______；
sin α·cos α＝______________________＝________________________.
(2)tanα＝的变形公式：sinα＝________________；cosα＝______________.
一、选择题
1．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是( )
A.B.C．1D.
2．若sinα＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α等于( )
A．0B．1C．2D．3
3．若sinα＝，且α是第二象限角，则tanα的值等于( )
A．－B.C．±D．±
4．已知tanα＝－，则的值是( )
A.B．3C．－D．－3
5．已知sinα－cosα＝－，则tanα＋的值为( )
A．－4B．4C．－8D．8
6．若cosα＋2sinα＝－，则tanα等于( )
A.B．2C．－D．－2
二、填空题
7．已知α是第四象限角，tanα＝－，则sinα＝________.
8．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝________.
9．已知sinαcosα＝且<α<，则cosα－sinα＝____.
10．若sinθ＝，cosθ＝，且θ的终边不落在坐标轴上，则tanθ的值为________．
三、解答题
11．化简：.
12．求证：＝.
能力提升
13．证明：
(1)－＝sinα＋cosα；
(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．
14．已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)．
(1)求sin3θ＋cos3θ的值；
(2)求tanθ＋的值．
1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．
2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．
3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点．
1．2.2 同角三角函数的基本关系
答案
知识梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1 (2)tanα＝
2．(1)1－cos2α 1－sin2α 1＋2sinαcosα 1－2sinαcosα 2 (2)cosαtanα
作业设计
1．C 2.B 3.A
4．C [＝＝＝＝＝－.]
5．C [tanα＋＝＋＝.
∵sinαcosα＝＝－，∴tanα＋＝－8.]
6．B [方法一 由联立消去cosα后得(－－2sinα)2＋sin2α＝1.
化简得5sin2α＋4sinα＋4＝0
∴(sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－.
∴cosα＝－－2sinα＝－.
∴tanα＝＝2.
方法二 ∵cosα＋2sinα＝－，
∴cos2α＋4sinαcosα＋4sin2α＝5，
∴＝5，
∴＝5，
∴tan2α－4tanα＋4＝0，
∴(tanα－2)2＝0，∴tanα＝2.]
7．－
8.
解析 sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝＝，
又tanθ＝2，故原式＝＝.
9．－
解析 (cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝，
∵<α<，∴cosα
解析 ∵sin2θ＋cos2θ＝2＋2＝1，
∴k2＋6k－7＝0，
∴k1＝1或k2＝－7.
当k＝1时，cosθ不符合，舍去．
当k＝－7时，sinθ＝，cosθ＝，tanθ＝.
11．解 原式＝
＝
＝
＝
＝
＝＝＝.
12．证明 左边＝
＝
＝＝
＝右边．
∴原等式成立．
13．证明 (1)左边＝－
＝－
＝－
＝－
＝
＝sinα＋cosα＝右边．
∴原式成立．
(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，
右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α
∴左边＝右边，∴原式成立．
14．解 (1)由韦达定理知：
sinθ＋cosθ＝a，sinθ·cosθ＝a.
∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，
∴a2＝1＋2a.
解得：a＝1－或a＝1＋
∵sinθ≤1，cosθ≤1，
∴sinθcosθ≤1，即a≤1，
∴a＝1＋舍去．
∴sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(sinθ＋cosθ)(1－sinθcosθ)
＝a(1－a)＝－2.
(2)tanθ＋＝＋＝＝＝＝＝－1－.