高中数学必修四课时训练 三角函数的诱导公式 1.3（二） Word版含答案


1.3　三角函数的诱导公式(二)
课时目标　1.借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．
1．诱导公式五～六
(1)公式五：sin＝________；cos＝________.
以－α替代公式五中的α，可得公式六．
(2)公式六：sin＝________；cos＝________.
2．诱导公式五～六的记忆
－α，＋α的三角函数值，等于α的____________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
一、选择题
1．已知f(sinx)＝cos3x，则f(cos10°)的值为(　　)
A．－B.C．－D.
2．若sin(3π＋α)＝－，则cos等于(　　)
A．－B.C.D．－
3．已知sin＝，则cos的值等于(　　)
A．－B.C.D.
4．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为(　　)
A．－B.C．－D.
5．已知cos＝，且|φ|＜，则tanφ等于(　　)
A．－B.C．－D.
6．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　　)
A.B.C．－D．－
二、填空题
7．若sin＝，则cos＝________.
8．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是______．
9．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.
10．已知tan(3π＋α)＝2，则＝________.
三、解答题
11．求证：＝－tanα.
12．已知sin·cos＝，且<α<，求sinα与cosα的值．
能力提升
13．化简：sin＋cos (k∈Z)．
14．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式
同时成立．
若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．
2．诱导公式统一成“k·±α(k∈Z)”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
1.3　三角函数的诱导公式(二)
答案
知识梳理
1．(1)cosα　sinα　(2)cosα　－sinα
2．异名　符号
作业设计
1．A　[f(cos10°)＝f(sin80°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－.]
2．A　[∵sin(3π＋α)＝－sinα＝－，∴sinα＝.
∴cos＝cos＝－cos＝－sinα＝－.]
3．A　[cos＝sin＝sin＝－sin＝－.]
4．C　[∵sin(π＋α)＋cos＝－sinα－sinα＝－m，
∴sinα＝.cos＋2sin(2π－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－m.]
5．C　[由cos＝－sinφ＝，得sinφ＝－，
又∵|φ|<，∴φ＝－，∴tanφ＝－.]
6．D　[sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝－.]
7．－
解析　cos＝cos＝－sin＝－.
8．1
解析　原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1.
9.
解析　原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋
＝.
10．2
解析　原式＝＝＝＝2.
11．证明　左边＝
＝
＝
＝＝－＝－tanα＝右边．
∴原等式成立．
12．解　sin＝－cosα，
cos＝cos＝－sin α.
∴sin α·cos α＝，即2sin α·cos α＝. ①
又∵sin2α＋cos2α＝1， ②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝，
②－①得(sin α－cos α)2＝，
又∵α∈，∴sin α>cos α>0，
即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝， ③
sin α－cos α＝， ④
③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝.
13．解　原式＝sin＋cos.
当k为奇数时，设k＝2n＋1 (n∈Z)，则
原式＝sin＋cos
＝sin＋cos
＝sin＋
＝sin－cos
＝sin－sin＝0；
当k为偶数时，设k＝2n (n∈Z)，则
原式＝sin＋cos
＝－sin＋cos
＝－sin＋cos
＝－sin＋sin＝0.
综上所述，原式＝0.
14．解　由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③
又因为sin2α＋sin2α＝1，④
由③④得sin2α＝，即sinα＝±，
因为α∈，所以α＝或α＝－.
当α＝时，代入②得cosβ＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知符合．
当α＝－时，代入②得cosβ＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝，β＝满足条件．