高中数学必修四课时训练 平面向量的线性运算 2.2.3 Word版含答案

2.2.3　向量数乘运算及其几何意义
课时目标　1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件．
1．向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝__________.
(2)λa (a≠0)的方向；
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________.
2．向量数乘的运算律
(1)λ(μa)＝________.
(2)(λ＋μ)a＝____________.
(3)λ(a＋b)＝____________.
特别地，有(－λ)a＝____________＝________；
λ(a－b)＝____________.
3．共线向量定理
向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________．
4．向量的线性运算
向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有
λ(μ1a±μ2b)＝__________________.
一、选择题
1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　)
A．k＝0B．k＝1
C．k＝2D．k＝
2．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．B、C、DB．A、B、CC．A、B、DD．A、C、D
3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则(　　)
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边上或其延长线上
D．P在AC边上
4．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为(　　)
A．2B．3C．4D．5
5．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且＝4＝r＋s，则r－s等于(　　)
A．0B.C.D．3
6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||等于(　　)
A．8B．4C．2D．1
题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝_______.
8．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且＝x＋y，则x＋y＝________.
9.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝______.(填写正确的序号)
①－＋
②－－
③－
④＋
10.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝______.(用a，b表示)
三、解答题
11．两个非零向量a、b不共线．
(1)若A＝a＋b，B＝2a＋8b，C＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
(2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．
12.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝______.(用a，b表示)
能力提升
13．已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心B．内心C．重心D．垂心
14．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋bB.a＋b
C.a＋bD.a＋b
1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．
2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量表示与向量a同向的单位向量．
3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．
2．2.3　向量数乘运算及其几何意义
知识梳理
1．向量　数乘　λa　(1)|λ||a|　(2)λ>0　λ<0　0　0
2．(1)(λμ)a　(2)λa＋μa　(3)λa＋λb　－(λa)　λ(－a)　λa－λb
3．b＝λa
4．加　减　数乘　λμ1a±λμ2b
作业设计
1．D　[当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.
∴n＝2m，此时，m，n共线．]
2．C　[∵＝＋＝2a＋4b＝2，
∴A、B、D三点共线．]
3．D　[＋＋＝－，
∴＝－2，∴P在AC边上．]
4．B　[∵＋＋＝0，
∴点M是△ABC的重心．
∴＋＝3，∴m＝3.]
5．C　[∵＝＋＝4，
∴＝3.
∴＝－＝＋－
＝＋－
＝＋(－)－
＝－
∴r＝，s＝－，r－s＝.]
6．C　[∵2＝16，
∴||＝4.又|－|＝||＝4，
∴|＋|＝4.
∵M为BC中点，∴＝(＋)，
∴||＝|＋|＝2.]
7.a－b＋c
8．1
解析　∵A，B，C三点共线，∴∃λ∈R使＝λ.
∴－＝λ(－)．
∴＝(1－λ)＋λ.
∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.
9．①
解析　－＋＝＋＝＋＝.
10.(b－a)
解析　＝＋＋
＝－b－a＋
＝－b－a＋(a＋b)
＝(b－a)．
11．(1)证明　∵A＝A＋B＋C＝a＋b＋2a＋8b＋3a－3b＝6a＋6b＝6A，∴A、B、D三点共线．
(2)解　∵ka＋b与2a＋kb共线，∴ka＋b＝λ(2a＋kb)．
∴(k－2λ)a＋(1－λk)b＝0，
∴⇒k＝±.
12．证明　设＝a，＝b，则由向量加法的三角形法则可知：
＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b＝a－b＝，
∴＝，又∵与共点为C，
∴C、M、N三点共线．
13．B　[为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．
又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同．而＝＋λ，∴点P在上移动．
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．]
14．B　[
如图所示，
∵E是OD的中点，
∴＝＝b.
又∵△ABE∽△FDE，
∴＝＝.
∴＝3，∴＝.
在△AOE中，＝＋＝a＋b.
∴＝＝a＋b.]