2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．
1．平面向量的坐标表示
(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．
(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝____________，则________________叫作向量a的坐标，________________叫作向量的坐标表示．
(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则＝________，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝________________________.
2．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
一、选择题
1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
2．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于( )
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(－2,2) D．(2，－2)
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2,1B．1，－2
C．2，－1D．－1,2
4．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且＝，则点P的坐标为( )
A．(－8,1) B.
C.D．(8，－1)
5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2,4)，＝(1,3)，则等于( )
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
6．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为( )
A．(－7,0) B．(7,6)
C．(6,7) D．(7，－6)
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则－的坐标是________．
8．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________.
9．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1,2)，B(3，2)，则x＝________.
10．函数y＝x2＋2x＋2按向量a平移所得图象的解析式为y＝x2，则向量a的坐标是________．
三、解答题
11．已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.
12．已知平面上三个点坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．
能力提升
13．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于( )
A．{(1,1)}B．{(－1,1)}
C．{(1,0)}D．{(0,1)}
14．函数y＝cos－2的图象F按向量a平移到F′，F′的函数解析式为y＝f(x)，当y＝f(x)为奇函数时，向量a可以等于( )
A.B.
C.D.
1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：
2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．
2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2．3.3 平面向量的坐标运算
答案
知识梳理
1．(1)互相垂直 (2)单位向量 xi＋yj 有序数对(x，y) a＝(x，y) (3)(x，y) (x2－x1，y2－y1)
2．(1)(x1＋x2，y1＋y2) (2)(x1－x2，y1－y2) (3)(λx，λy)
作业设计
1．D 2.D
3．D [由解得]
4．C [设P(x，y)，由(x－3，y＋2)＝×(－8,1)，
∴x＝－1，y＝－.]
5．B [∵＝＋，
∴＝－＝(－1，－1)．
∴＝－＝(－3，－5)．]
6．D [设D(x，y)，由＝，
∴(x－5，y＋1)＝(2，－5)．
∴x＝7，y＝－6.]
7．(－3,6)
8.
解析 ∵＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，
＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
又2＝，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，
∴ 解得
∴x＋y＝.
9．－1
解析 ∵A(1,2)，B(3,2)，∴＝(2,0)．
又∵a＝，它们的坐标一定相等．
∴(x＋3，x2－3x－4)＝(2,0)．
∴
∴x＝－1.
10．(1，－1)
解析 函数y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y＝x2的顶点坐标为(0,0)，则a＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．
11．解 设c＝xa＋yb，
则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)＝(－2x＋3y,3x＋y)，
∴
解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.
12．解 (1)当平行四边形为ABCD时，＝，
设点D的坐标为(x，y)．
∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
∴ ∴ ∴D(0，－1)；
(2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3)；
(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15)．
综上可知点D可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．
13．A [设a＝(x，y)，则
P＝，
∴集合P是直线x＝1上的点的集合．
同理集合Q是直线x＋y＝2上的点的集合，
即P＝{(x，y)|x＝1}，Q＝{(x，y)|x＋y－2＝0}．
∴P∩Q＝{(1,1)}．故选A.]
14．B [函数y＝cos－2按向量a＝(m，n)平移后得到y′＝cos＋n－2.若平移后的函数为奇函数，则n＝2，－2m＝kπ＋(k∈Z)，故m＝－时适合．]