明目标、知重点
1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．
2．会利用微积分基本定理求函数的积分．
1．微积分基本定理
如果f(x)是区间a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃf(x)dx＝S上．
(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃf(x)dx＝－S下．
(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃf(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则ʃf(x)dx＝0.
情境导学]
从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃx3dx的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？
探究点一 微积分基本定理
问题 你能用定义计算ʃdx吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？
思考1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？
答 由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，
通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃv(t)dt＝ʃy′(t)dt，
所以ʃv(t)dt＝ʃy′(t)dt＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′(t)．
小结 (1)一般地，如果f(x)是区间a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)．
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
(2)运用微积分基本定理求定积分ʃf(x)dx很方便，其关键是准确写出满足F′(x)＝f(x)的F(x)．
思考2 对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？
答 不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．
不影响，因为
ʃf(x)dx＝F(b)＋c]－F(a)＋c]＝F(b)－F(a)
例1 计算下列定积分：
(1)ʃdx；(2)ʃ(2x－)dx；(3)ʃ(cos x－ex)dx.
解 (1)因为(ln x)′＝，
所以ʃdx＝ln x|＝ln 2－ln 1＝ln 2.
(2)因为(x2)′＝2x，()′＝－，
所以ʃ(2x－)dx＝ʃ2xdx－ʃdx
＝x2|＋|
＝(9－1)＋(－1)＝.
(3)ʃ(cos x－ex)dx＝ʃcos xdx－ʃexdx
＝sin x|－ex|＝－1.
反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：
(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；
(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
跟踪训练1 若S1＝ʃx2dx，S2＝ʃdx，S3＝ʃexdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1
解析 S1＝ʃx2dx＝x3|＝，
S2＝ʃdx＝ln x|＝ln 2<1，
S3＝ʃexdx＝ex|＝e2－e＝e(e－1)>.
所以S2
例2 已知函数f(x)＝先画出函数图象，再求这个函数在0,4]上的定积分．
解 图象如图．
ʃf(x)dx＝sin xdx＋1dx＋(x－1)dx
＝(－cos x)|＋x|＋(x2－x)|
＝1＋(2－)＋(4－0)＝7－.
反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．
跟踪训练2 设f(x)＝
求ʃf(x)dx.
解 ʃf(x)dx＝ʃx2dx＋ʃ(cos x－1)dx
＝x3|＋(sin x－x)|＝sin 1－.
探究点三 定积分的应用
例3 计算下列定积分：
ʃsin xdx，ʃsin xdx，ʃsin xdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．
解 因为(－cos x)′＝sin x，
所以ʃsin xdx＝(－cos x)|
＝(－cos π)－(－cos 0)＝2；
ʃsin xdx＝(－cos x)|
＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2；
ʃsin xdx＝(－cos x)|
＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.
反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：
定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x轴上方曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．
跟踪训练3 求曲线y＝sin x与直线x＝－，x＝π，y＝0所围图形的面积(如图所示)．
解 所求面积为
S＝－|sin x|dx
＝－sin xdx＋ʃsin xdx－sin xdx
＝1＋2＋(1－)＝4－.
1．(1＋cos x)dx等于( )
A．π B．2
C．π－2 D．π＋2
答案 D
解析 ∵(x＋sin x)′＝1＋cos x，
∴(1＋cos x)dx＝(x＋sin x)|
＝＋sin－＝π＋2.
2．若ʃ(2x＋)dx＝3＋ln 2，则a的值是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 D
解析 ʃ(2x＋)dx＝ʃ2xdx＋ʃdx
＝x2|＋ln x|＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，
解得a＝2.
3．ʃ(x2－x)dx＝________.
答案
解析 ʃ(x2－x)dx＝ʃx2dx－ʃxdx
＝|－|＝－＝.
4．已知f(x)＝，计算ʃf(x)dx.
解 ʃf(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx
＝(4x－2π)dx＋cos xdx，
取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；
取F2(x)＝sin x，则F2′(x)＝cos x.
所以(4x－2π)dx＋cos xdx＝(2x2－2πx)|
＋sin x|＝－π2－1，即ʃf(x)dx＝－π2－1.
呈重点、现规律]
1．求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数．
一、基础过关
1．已知物体做变速直线运动的位移函数s＝s(t)，那么下列命题正确的是( )
①它在时间段a，b]内的位移是s＝s(t)|；
②它在某一时刻t＝t0时，瞬时速度是v＝s′(t0)；
③它在时间段a，b]内的位移是s＝s′(ξi)；
④它在时间段a，b]内的位移是s＝ʃs′(t)dt.
A．① B．①②
C．①②④ D．①②③④
答案 D
2．若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式不正确的是( )
A．F(x)＝x3
B．F(x)＝x3
C．F(x)＝x3＋1
D．F(x)＝x3＋c(c为常数)
答案 B
3．ʃ(ex＋2x)dx等于( )
A．1 B．e－1 C．e D．e＋1
答案 C
解析 ʃ(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.
4．已知f(x)＝则ʃf(x)dx的值为( )
A. B. C. D．－
答案 B
解析 ʃf(x)dx＝ʃx2dx＋ʃ1dx＝|＋1＝＋1＝，故选B.
5．sin2dx等于( )
A. B.－1
C．2 D.
答案 D
解析 sin2dx＝dx＝(x－sin x)|＝，故选D.
6．若ʃ(2x＋k)dx＝2，则k＝________.
答案 1
解析 ∵ʃ(2x＋k)dx＝(x2＋kx)|＝1＋k＝2，
∴k＝1.
二、能力提升
7．设函数f(x)＝ax2＋c (a≠0)，若ʃf(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
答案
解析 ʃ(ax2＋c)dx＝ax＋c，
∴＝ax，
∵a≠0，∴x＝，又0≤x0≤1，
∴x0＝.
8．设f(x)＝，
若ff(1)]＝1，则a＝________.
答案 1
解析 因为x＝1>0，所以f(1)＝lg 1＝0.又x≤0时，f(x)＝x＋ʃ3t2dt＝x＋t3|＝x＋a3，
所以f(0)＝a3.
因为ff(1)]＝1，所以a3＝1，
解得a＝1.
9．设f(x)是一次函数，且ʃf(x)dx＝5，ʃxf(x)dx＝，则f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝4x＋3
解析 ∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
ʃf(x)dx＝ʃ(ax＋b)dx＝ʃaxdx＋ʃbdx＝a＋b＝5，ʃxf(x)dx＝ʃx(ax＋b)dx＝ʃ(ax2)dx＋ʃbxdx＝a＋b＝.
由
得
10．计算下列定积分：
(1)ʃ(ex＋)dx；(2)ʃ(1＋)dx；
(3)ʃ(－0.05e－0.05x＋1)dx；
(4)ʃdx.
解 (1)∵(ex＋ln x)′＝ex＋，
∴ʃ(ex＋)dx＝(ex＋ln x)|＝e2＋ln 2－e.
(2)∵(1＋)＝x＋，(x2＋)′＝x＋，
∴ʃ(1＋)dx＝(x2＋)|＝.
(3)∵(e－0.05x＋1)′＝－0.05e－0.05x＋1，
∴ʃ(－0.05e－0.05x＋1)dx＝e－0.05x＋1|＝1－e.
(4)∵＝－，
(ln x)′＝，(ln(x＋1))′＝，
∴ʃdx＝ln x|－ln(x＋1)|＝2ln 2－ln 3.
11．若函数f(x)＝求ʃf(x)dx的值．
解 由定积分的性质，知：
ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx
＝ʃx3dx＋ʃdx＋ʃ2xdx
＝|＋x|＋|
＝＋－＋－
＝－＋＋.
12．已知f(a)＝ʃ(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．
解 ∵(ax3－a2x2)′＝2ax2－a2x，
∴ʃ(2ax2－a2x)dx＝(ax3－a2x2)|
＝a－a2，
即f(a)＝a－a2＝－(a2－a＋)＋
＝－(a－)2＋，
∴当a＝时，f(a)有最大值.
三、探究与拓展
13．求定积分ʃ|x＋a|dx.
解 (1)当－a≤－4即a≥4时，
原式＝ʃ(x＋a)dx＝(＋ax)|＝7a－.
(2)当－4<－a<3即－3
＝(－－ax)|＋(＋ax)|
＝－4a＋8＋(＋3a＋)
＝a2－a＋.
(3)当－a≥3即a≤－3时，
原式＝ʃ－(x＋a)]dx＝(－－ax)|
＝－7a＋.
综上，得ʃ|x＋a|dx＝.