自我小测
1．命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是( )
A．a＜b B．a≤b
C．a＝b D．a≥b
2．实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则( )
A．a，b，c都是正数
B．a，b，c都大于1
C．a，b，c都小于2
D．a，b，c至少有一个不小于
3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都不是偶数
C．a，b，c中至多一个是偶数
D．至多有两个偶数
4．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两人是对的，则获奖的歌手是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．两条相交直线l，m都在平面α内且都不在平面β内．命题甲：l和m中至少有一条与平面β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．
7．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是__________．
8．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝____________＝____________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．
9．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
10．已知直线ax－y＝1与曲线x2－2y2＝1相交于P，Q两点，是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解析：“大于”的否定是“不大于”，即“小于”或“等于”．
答案：B
2．解析：假设a，b，c均小于，则a＋2b＋c＜＋1＋＝2，与已知矛盾，故选D．
答案：D
3．解析：“a，b，c中存在偶数”，即“a，b，c中至少有一个偶数”，故其否定为“a，b，c都不是偶数”．选B．
答案：B
4．解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推知乙、丙、丁是否获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．
答案：C
5．解析：若已知α与β相交，设交线为a，假设l，m都与平面β平行，则a∥l，a∥m，∴l∥m，这与已知l与m相交矛盾，∴乙⇒甲．若已知l，m中至少有一条与平面β相交，不妨设l∩β＝A，则点A∈α，且点A∈β，∴α与β必有一条过点A的交线，即甲⇒乙．故选C．
答案：C
6．解析：“a＝b＝1”即“a＝1且b＝1”，其否定为“a≠1或b≠1”．
答案：a≠1或b≠1
7．解析：假设两个一元二次方程均无实根，则有
即
解得{a|－2＜a＜－1}，
所以其补集{a|a≤－2或a≥－1}即为所求的a的取值范围．
答案：{a|a≤－2或a≥－1}
8．解析：据题目要求及解题步骤，
因为a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，
所以(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)也为奇数．
即(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)为奇数．
又因为a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，
所以a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式为0.
所以奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.
答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) (a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)
9．证明：假设，，成等差数列，则＋＝2，
即a＋c＋2＝4b，而b2＝ac，即b＝，
所以a＋c＋2＝4，
所以(－)2＝0，即＝.
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列．
10．解：不存在．
理由如下：假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O，则OP⊥OQ.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则·＝－1，∴(ax1－1)(ax2－1)＝－x1·x2，
即(1＋a2)x1·x2－a(x1＋x2)＋1＝0.
由题意得(1－2a2)x2＋4ax－3＝0，
∴x1＋x2＝，x1·x2＝.
∴(1＋a2)·－a·＋1＝0，
即a2＝－2，这是不可能的．
∴假设不成立．
故不存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O.