第一章 计数原理
1.2 排列与组合
1.2.2 组合
第1课时 组合与组合数公式
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )
A．3 B．4 C．12 D．24
解析：C＝C＝4.
答案：B
2．集合A＝{x|x＝C，n是非负整数}，集合B＝{1，2，3，4}，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝{0，1，2，3，4} B．B A
C．A∩B＝{1，4} D．A⊆B
解析：依题意，C中，n可取的值为1，2，3，4，所以A＝{1，4，6}，所以A∩B＝{1，4}．
答案：C
3．下列各式中与组合数C(n≠m)相等的是( )
A.C B.C
C．C D.
解析：因为C＝·＝，所以选项B正确.
答案：B
4．C＋C＋C＋…＋C＝( )
A．C B．C C．C D．C
解析：原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C.
答案：C
5．5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( )
A．A种 B．45种 C．54种 D． C种
解析：由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C种．
答案：D
二、填空题
6．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．
解析：第一步安排周六有C种方法，第二步安排周日有C种方法，所以不同的安排方案共有CC＝140(种)．
答案：140
7．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女一定不是O型，若某人的血型为O型，则父母血型所有可能情况有________种．
解析：父母应为A、B或O，CC＝9(种)．
答案：9
8．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B，若＝，则这组学生共有________人．
解析：设有学生n人，则＝，解之得n＝15.
答案：15
三、解答题
9．解不等式：2C＜3C.
解：因为2C＜3C，
所以2C＜3C.
所以＜3×.
所以＜，解得x＜.
因为，所以x≥2.
所以2≤x＜.又x∈N*，所以x的值为2，3，4，5.
所以不等式的解集为{2，3，4，5}．
10．平面内有10个点，其中任何3个点不共线．
(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？
(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？
(3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？
解：(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C＝＝45(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．
(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有A＝10×9＝90(条)，即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条．
(3)所求三角形的个数，即从10个元素中任选3个元素的组合数，共有C＝＝120(个)．
B级 能力提升
1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )
A．120 B．84 C．52 D．48
解析：用间接法可求得选法共有C－C＝52(种)．
答案：C
2．A，B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有________种(用数字作答)．
解析：根据题意，要求从A地到B地路程最短，必须只向上或向右行走即可，分析可得，需要向上走2次，向右走3次，共5次，从5次中选3次向右，剩下2次向上即可，则不同的走法有C＝10(种)．
答案：10
3．现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某市．
(1)如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？
(2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？
解：(1)从5名男司机中选派3名，有C种方法，
从4名男司机中选派2名，有C种方法，
根据分步乘法计数原理得所选派的方法总数为
CC＝CC＝×＝60(种)．
(2)分四类：
第一类，选派2名男司机，3名女司机的方法有CC＝
40(种)；
第二类，选派3名男司机，2名女司机的方法有CC＝
60(种)；
第三类，选派4名男司机，1名女司机的方法有CC＝
20(种)；
第四类，选派5名男司机，不派女司机的方法有CC＝
1(种)．
所以选派方法共有40＋60＋20＋1＝121(种)．