第31课时 简单的三角恒等变换
课时目标
1.能够利用半角公式进行化简．
2．了解和差化积与积化和差公式，以及它与两角和与差公式的内在联系．
3．了解y＝asinx＋bcosx的函数的变换，并会求形如y＝asinx＋bcosx的函数的性质．
识记强化
1．半角公式：
sin2＝，sin＝±
cos2＝，cos＝±
tan2＝，tan＝±
根号前符号，由所在象限三角函数符号确定．
2．辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.
课时作业
一、选择题
1．已知cosθ＝－(－180°<θ<－90°)，则cos＝( )
A．－ B.
C．－ D.
答案：B
解析：因为－180°<θ<－90°，所以－90°<<－45°.又cosθ＝－，所以cos＝＝＝，故选B.
2．已知α∈，cosα＝，则tan＝( )
A．3 B．－3
C. D．－
答案：D
解析：因为α∈，且cosα＝，所以∈，tan＝－＝－＝－，故选D.
3．在△ABC中，若B＝45°，则cosAsinC的取值范围是( )
A．[－1,1] B.
C. D.
答案：B
解析：在△ABC中，B＝45°，所以cosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)，因为－1≤sin(A－C)≤1，所以≤cosAsinC≤，故选B.
4．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，且α是第二象限角，则tan等于( )
A．7 B．－7
C. D．－
答案：C
解析：∵sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，
∴cosα＝－.
又α是第二象限角，∴sinα＝，则tanα＝－.
∴tan＝＝＝.
5．函数f(x)＝的值域为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：f(x)＝＝＝2sinx＋2sin2x，
又－1≤sinx<1，∴f(x)∈.故选B.
6．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
答案：B
解析：sinAsinB＝
2sinAsinB＝1－cos(π－A－B)
cosAcosB＋sinAsinB＝1
cos(A－B)＝1
A＝B
∴是等腰三角形．
二、填空题
7．若3sinx－cosx＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ等于________．
答案：－
解析：3sinx－cosx＝2 sin，
所以φ＝－.
8．已知sin＝，则cos2＝________.
答案：
解析：因为cos＝sin＝sin＝.所以cos2＝＝＝.
9．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tanAtanB＝________.
答案：
解析：因为3cos2＋5sin2＝4，
所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝0，
所以cosAcosB＋sinAsinB－cosAcosB＋sinAsinB＝0，
即cosAcosB＝4sinAsinB，所以tanAtanB＝.
三、解答题
10．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，求cos.
解：∵α为钝角，β为锐角，sinα＝，sinβ＝，
∴cosα＝－，cosβ＝.
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－×＋×＝.
又∵<α<π，0<β<，∴0<α－β<π，0<<.
∴cos＝ ＝.
11．已知sin(2α＋β)＝5sinβ.求证：2tan(α＋β)＝3tanα.
证明：由条件得sin[(α＋β)＋α]
＝5sin[(α＋β)－α]，两边分别展开得
sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα
＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα.
整理得：
4sin(α＋β)cosα＝6cos(α＋β)sinα.
两边同除以cos(α＋β)cosα得：
2tan(α＋β)＝3tanα.
能力提升
12．要使sinα＋cosα＝有意义，则应有( )
A．m≤ B．m≥－1
C．m≤－1或m≥ D．－1≤m≤
答案：D
解析：sinα＋cosα＝2＝
2sin＝，所以sin＝，由于－1≤sin≤1，所以－1≤≤1，所以－1≤m≤.
13．已知函数f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若<α<，且f(α)＝－，求sin2α的值．
解：(1)因为f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x，
所以f(x)＝sin2x－sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期是π.
(2)f(α)＝－，即sin＝－，sin＝－.
因为<α<，所以<2α＋<，
所以cos＝－，
所以sin2α＝sin
＝sin－cos
＝×－×
＝.