明目标、知重点
1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．
2．理解定积分的几何意义．
3．掌握定积分的基本性质．
定积分
概念
一般地，如果函数f(x)在区间a，b]上连续，用分点a＝x0
如果在区间a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分ʃf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.
基本性质
ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx(k为常数)；
ʃf1(x)±f2(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx；
ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(其中a
思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．
答 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．
思考2 怎样正确认识定积分ʃf(x)dx?
答 (1)定积分ʃf(x)dx是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃf(x)dx与积分区间a，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．
(2)定积分就是和的极限(ξi)·Δx，而ʃf(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”．
(3)函数f(x)在区间a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．
例1 利用定积分的定义，计算ʃx3dx的值．
解 令f(x)＝x3.
(1)分割
在区间0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间0,1]等分成n个小区间，](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则
ʃx3dx≈Sn＝f()·Δx
＝ ()3·
＝i3＝·n2(n＋1)2＝(1＋)2.
(3)取极限
ʃx3dx＝Sn＝ (1＋)2＝.
反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．
(2)从过程来看，当f(x)≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．
跟踪训练1 用定义计算ʃ(1＋x)dx.
解 (1)分割：将区间1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为
Δx＝.
(2)近似代替、求和：在上取点ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，从而得f(ξi)Δx＝(2＋)·＝
＝·n＋0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝2＋·＝2＋.
(3)取极限：S＝ ＝2＋＝.
因此ʃ(1＋x)dx＝.
探究点二 定积分的几何意义
思考1 从几何上看，如果在区间a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么ʃf(x)dx表示什么？
答 当函数f(x)≥0时，定积分ʃf(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a
答 如果在区间a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①)．
由于>0，f(ξi)≤0，故
f(ξi)≤0.从而定积分ʃf(x)dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃf(x)dx＝－S.
当f(x)在区间a，b]上有正有负时，定积分ʃf(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即ʃf(x)dx＝－S1＋S2－S3.
例2 利用几何意义计算下列定积分：
(1)ʃdx；(2)ʃ(3x＋1)dx.
解 (1)在平面上y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，
其面积为S＝·π·32.
由定积分的几何意义知ʃdx＝π.
(2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：
ʃ(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，
∴ʃ(3x＋1)dx＝×(3＋)×(3×3＋1)－(－＋1)×2＝－＝16.
反思与感悟 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．
跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值：
(1)ʃxdx；(2)ʃcos xdx；(3)ʃ|x|dx.
解 (1)如图(1)，ʃxdx＝－A1＋A1＝0.
(2)如图(2)，ʃcos xdx＝A1－A2＋A3＝0.
(3)如图(3)，∵A1＝A2，∴ʃ|x|dx＝2A1＝2×＝1.
(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)
探究点三 定积分的性质
思考1 定积分的性质可作哪些推广？
答 定积分的性质的推广
①ʃf1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx±…±ʃfn(x)dx；
②ʃf(x)dx＝ʃc1af(x)dx＋ʃc2c1f(x)dx＋…＋ʃbcnf(x)dx(其中n∈N*)．
思考2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？
答 奇、偶函数在区间－a，a]上的定积分
①若奇函数y＝f(x)的图象在－a，a]上连续不断，则ʃf(x)dx＝0.
②若偶函数y＝g(x)的图象在－a，a]上连续不断，则ʃg(x)dx＝2ʃg(x)dx.
例3 计算ʃ(－x3)dx的值．
解 如图，
由定积分的几何意义得ʃdx＝＝，
ʃx3dx＝0，由定积分性质得
ʃ(－x3)dx＝ʃdx－ʃx3dx＝.
反思与感悟 根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．
跟踪训练3 已知ʃx3dx＝，ʃx3dx＝，ʃx2dx＝，ʃx2dx＝，求：
(1)ʃ3x3dx；(2)ʃ6x2dx；(3)ʃ(3x2－2x3)dx.
解 (1)ʃ3x3dx＝3ʃx3dx＝3(ʃx3dx＋ʃx3dx)
＝3×(＋)＝12；
(2)ʃ6x2dx＝6ʃx2dx＝6(ʃx2dx＋ʃx2dx)＝6×(＋)＝126；
(3)ʃ(3x2－2x3)dx＝ʃ3x2dx－ʃ2x3dx
＝3ʃx2dx－2ʃx3dx＝3×－2×＝7－＝－.
1．下列结论中成立的个数是( )
①ʃx3dx＝·；
②ʃx3dx＝·；
③ʃx3dx＝·.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ②③成立．
2．定积分ʃf(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间a，b]无关
D．与f(x)、积分区间a，b]和ξi的取法都有关
答案 A
3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：
①ʃxdx________ʃx2dx；
②ʃdx________ʃ2dx.
答案 ①> ②<
4．若ʃx2dx＝9，则常数T的值为________．
答案 3
解析 令f(x)＝x2.
(1)分割
将区间0，T]n等分，则Δx＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
Sn＝()2·＝2＝(12＋22＋…＋n2)
＝·＝(1＋)(2＋)．
(3)取极限
S＝ ×2＝＝9,
∴T3＝27，∴T＝3.
呈重点、现规律]
1．定积分ʃf(x)dx是一个和式f(ξi)的极限，是一个常数．
2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．
3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.
一、基础过关
1．下列命题不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则ʃf(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则ʃf(x)dx＝2ʃf(x)dx
C．若f(x)在a，b]上连续且恒正，则ʃf(x)dx>0
D．若f(x) 在a，b]上连续且ʃf(x)dx>0，则f(x)在a，b]上恒正
答案 D
解析 对于A，f(－x)＝－f(x)，ʃf(x)dx
＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx＝－ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx＝0，同理B正确；由定积分的几何意义知，当f(x)>0时，ʃf(x)dx>0即C正确；但ʃf(x)dx>0，不一定有f(x)恒正，故选D.
2．已知定积分ʃf(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则ʃf(x)dx等于( )．
A．0 B．16 C．12 D．8
答案 B
解析 偶函数图象关于y轴对称，
故ʃf(x)dx＝2ʃf(x)dx＝16，故选B.
3．已知ʃxdx＝2，则ʃxdx等于( )
A．0 B．2 C．－1 D．－2
答案 D
解析 ∵f(x)＝x在－t，t]上是奇函数，
∴ʃxdx＝0.而ʃxdx＝ʃxdx＋ʃxdx，
又ʃxdx＝2，
∴ʃxdx＝－2.故选D.
4．由曲线y＝x2－4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )
A．ʃ(x2－4)dx
B.
C．ʃ|x2－4|dx
D．ʃ(x2－4)dx＋ʃ(x2－4)dx
答案 C
5．设a＝ʃxdx，b＝ʃx2dx，c＝ʃx3dx，则a，b，c的大小关系是( )
A．c>a>b B．a>b>c
C．a＝b>c D．a>c>b
答案 B
解析 根据定积分的几何意义，易知ʃx3dx<ʃx2dx<ʃxdx，a>b>c，故选B.
6．若ʃ|56x|dx≤2 016，则正数a的最大值为( )
A．6 B．56 C．36 D．2 016
答案 A
解析 由ʃ|56x|dx＝56ʃ|x|dx≤2 016，
得ʃ|x|dx≤36，∴ʃ|x|dx＝2ʃxdx＝a2≤36，
即0
A．ʃln2xdx B．2ʃln xdx
C．2ʃln(1＋x)dx D．ʃln2(1＋x)dx
答案 B
解析 ln
＝ ln
＝2 ＝2ʃln xdx(这里f(x)＝ln x，区间1,2]或者2 ＝2ʃln(1＋x)dx，区间0,1])．
二、能力提升
8．由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S＝________.
答案 －ʃsin xdx
解析 由定积分的意义知，由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0围成图形的面积为S＝－ʃsin xdx.
9．计算定积分ʃdx＝________.
答案 π
解析 由于ʃdx＝2ʃdx表示单位圆的面积π，所以ʃdx＝π.
10．设f(x)是连续函数，若ʃf(x)dx＝1，ʃf(x)dx＝－1，则ʃf(x)dx＝________.
答案 －2
解析 因为ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx，
所以ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx－ʃf(x)dx＝－2.
11．利用定积分的定义计算ʃ(－x2＋2x)dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．
解 令f(x)＝－x2＋2x.
(1)分割
在区间1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间1,2]等分为n个小区间1＋，1＋](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，则
Sn＝f(1＋)·Δx＝－(1＋)2＋2(1＋)]·
＝－(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋2n]
＝－－]＋·
＝－(2＋)(4＋)＋(1＋)(2＋)＋3＋.
(3)取极限
ʃ(－x2＋2x)dx＝Sn＝－(2＋)(4＋)＋(1＋)(2＋)＋3＋]＝，
ʃ(－x2＋2x)dx＝的几何意义为由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线f(x)＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积．
12．用定积分的意义求下列各式的值：
(1)ʃ(2x＋1)dx；(2)dx.
解 (1)在平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线，
ʃ(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3与x轴围成的直角梯形OABC的面积，如图(1)所示，其面积为S＝(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知
ʃ(2x＋1)dx＝12.
(2)由y＝可知，x2＋y2＝1(y≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知dx等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝×π×12－×1×1×sin π＝－，
S矩形＝|AB|·|BC|
＝2××＝，
∴dx＝－＋＝＋.
三、探究与拓展
13．已知函数f(x)＝，求f(x)在区间－2,2π]上的积分．
解 由定积分的几何意义知
ʃx3dx＝0，
ʃ2xdx＝
＝π2－4，
ʃcos xdx＝0，
由定积分的性质得
ʃf(x)dx＝ʃx3dx＋ʃ2xdx＋ʃcos xdx
＝π2－4.