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[学业达标]
一、选择题
1．已知椭圆＋＝1上的焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝( )
A．2 B．4
C．4 D．8
【解析】 由题可得a＝2.如图，设F1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1，BF1，CF，FD.由椭圆的对称性可知， 四边形AFDF1为平行四边形，
∴|AF1|＝|FD|，同理可得|BF1|＝|CF|，∴|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝|AF|＋|BF|＋|BF1|＋|AF1|＝4a＝8，故选D.
【答案】 D
2．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(－3，0) D．(1，3)
【解析】 由
消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.
若直线与椭圆有两个公共点，
则
解得
由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.综上可知，m>1且m≠3，故选B.
【答案】 B
3．若点P(a，1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
A.
B.∪
C.
D.
【解析】 因为点P在椭圆＋＝1的外部，所以＋＞1，解得a＞或a＜－，故选B.
【答案】 B
4．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A. B.
C. D.
【解析】 联立方程组可得
得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则x0＝＝，
y0＝1－x0＝1－＝.
∴kOP＝＝＝.故选A.
【答案】 A
5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝( )
A. B．2
C. D．3
【解析】 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1，0)．
由＝3，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得
×＋＝1.
解得n2＝1，
∴||＝＝＝.
【答案】 A
二、填空题
6．若直线x－y－m＝0与椭圆＋y2＝1有且仅有一个公共点，则m＝________. 【导学号：18490053】
【解析】 将直线方程代入椭圆方程，消去x，得到10y2＋2my＋m2－9＝0，
令Δ＝0，解得m＝±.
【答案】 ±
7．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
【解析】 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)，
由消去y，得3x2－4x＝0.
∴A(0，－1)，B.
∴|AB|＝，
∴|F1A|＋|F1B|＝4a－|AB|＝4－＝.
【答案】
8．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
【解析】 由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组
解得A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.
【答案】
三、解答题
9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
【解】 (1)由题意得消去y，整理得：
5x2＋2mx＋m2－1＝0.
∵直线与椭圆有公共点，
∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，
∴－≤m≤.
(2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由(1)得
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝.
∵－≤m≤，
∴0≤m2≤，
∴当m＝0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为y＝x，即x－y＝0.
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
【解】 (1)由题意得
解得b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝
＝
＝，
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离
d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，
由＝，
化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.
[能力提升]
1．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，则·的值等于( )
A．0 B．2
C．4 D．－2
【解析】 由题意得c＝＝，
又S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，
所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，
此时∠F1PF2＝120°.
所以·＝||·||·cos 120°＝2×2×＝－2.
故选D.
【答案】 D
2．过椭圆＋＝1内一点P (2，－1)的弦恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A．5x－3y＋13＝0 B．5x＋3y＋13＝0
C．5x－3y－13＝0 D．5x＋3y－13＝0
【解析】 设弦的两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组
两式作差可得：
5(x1＋x2)(x1－x2)＝－6(y1＋y2)(y1－y2)， ①
又弦的中点为(2，－1)，
可得x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2， ②
将②代入①式可得k＝＝，
故直线的方程为y＋1＝(x－2)，
化为一般式为5x－3y－13＝0，故选C.
【答案】 C
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________. 【导学号：18490054】
【解析】 法一 设直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得
＋(x＋t)2＝1，
整理得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.
∵Δ＝64t2－80(t2－1)>0，
∴－
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
∴|AB|＝
＝
＝.
当t＝0时，|AB|为最大，即|AB|max＝.
法二 根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将y＝x代入＋y2＝1得交点坐标为A和B，
故|AB|＝.
【答案】
4．(2013·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．
【解】 (1)设F(－c，0)，由＝，知a＝c.
过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，
代入椭圆方程有＋＝1，
解得y＝±，于是＝，
解得b＝，
又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，
由方程组消去y，
整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
可得x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·
＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.
由已知得6＋＝8，
解得k＝±.