(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．问题：①有1 000个乒乓球分别装在3种箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会．
方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法．其中问题与方法能配对的是( )
A．①Ⅰ，②Ⅱ B．①Ⅲ，②Ⅰ
C．①Ⅱ，②Ⅲ D．①Ⅲ，②Ⅱ
【解析】 本题考查三种抽样方法的定义及特点．
【答案】 B
2．从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球，那么下列事件中，互斥事件的个数是( )
①至少有一个白球；都是白球．
②至少有一个白球；至少有一个红球．
③恰好有一个白球；恰好有2个白球．
④至少有1个白球；都是红球．
A．0 B．1
C.2 D．3
【解析】 由互斥事件的定义知，选项③④是互斥事件．故选C.
【答案】 C
3．在如图1所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为( )
图1
A．6 B．8
C.10 D．14
【解析】 由甲组数据的众数为14，得x＝y＝4，乙组数据中间两个数分别为6和14，所以中位数是＝10，故选C.
【答案】 C
4．101110(2)转化为等值的八进制数是( )
A．46 B．56
C.67 D．78
【解析】 ∵101110(2)＝1×25＋1×23＋1×22＋1×2＝46，46＝8×5＋6，5＝8×0＋5，∴46＝56(8)，故选B.
【答案】 B
5．从甲、乙两人手工制作的圆形产品中随机抽取6件，测得其直径如下：(单位：cm)
甲：9.0，9.2，9.0，8.5，9.1，9.2；
乙：8.9，9.6，9.5，8.5，8.6，8.9.
据以上数据估计两人的技术的稳定性，结论是( )
A．甲优于乙 B．乙优于甲
C．两人没区别 D．无法判断
【解析】 x甲＝(9.0＋9.2＋9.0＋8.5＋9.1＋9.2)＝9.0，
x乙＝(8.9＋9.6＋9.5＋8.5＋8.6＋8.9)＝9.0；
s＝[(9.0－9.0)2＋(9.2－9.0)2＋(9.0－9.0)2＋(8.5－9.0)2＋(9.1－9.0)2＋(9.2－9.0)2]＝，
s＝[(8.9－9.0)2＋(9.6－9.0)2＋(9.5－9.0)2＋(8.5－9.0)2＋(8.6－9.0)2＋(8.9－9.0)2]＝.
因为s
6．某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)．该校文学社共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图2所示，则从文学社中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是( )
图2
A. B．
C. D．
【解析】 从中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是＝.
【答案】 B
7．(2014·北京高考)当m＝7，n＝3时，执行如图3所示的程序框图，输出的S值为( )
图3
A．7 B．42
C.210 D．840
【解析】 程序框图的执行过程如下：
m＝7，n＝3时，m－n＋1＝5，
k＝m＝7，S＝1，S＝1×7＝7；
k＝k－1＝6＞5，S＝6×7＝42；
k＝k－1＝5＝5，S＝5×42＝210；
k＝k－1＝4＜5，输出S＝210.故选C.
【答案】 C
8．已知函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5，5]，那么在区间[－5，5]内任取一点x0，使f(x0)≤0的概率为( )
A．0.1 B．
C.0.3 D．
【解析】 在[－5，5]上函数的图象和x轴分别交于两点(－1，0)，(2，0)，当x0∈[－1，2]时，f(x0)≤0.
P＝＝＝0.3.
【答案】 C
9．有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为( )
【导学号：28750073】
A. B．
C. D．
【解析】 法一：设2个人分别在x层，y层离开，则记为(x，y)．基本事件构成集合Ω＝{(2，2)，(2，3)，(2，4)，…，(2，10)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，…，(3，10)，(10，2)，(10，3)，(10，4)，…，(10，10)}，所以除了(2，2)，(3，3)，(4，4)，…，(10，10)以外，都是2个人在不同层离开，故所求概率P＝＝.
法二：其中一个人在某一层离开，考虑另一个人，也在这一层离开的概率为，故不在这一层离开的概率为.
【答案】 D
10．(2016·沾化高一检测)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为( )
A. B．
C. D．π
【解析】 如图所示，动点P在阴影部分满足|PA|<1，该阴影是半径为1，圆心角为直角的扇形，其面积为S′＝，又正方形的面积是S＝1，则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为＝.
【答案】 C
11．已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为x，方差为s2，则( )
A．x＝5，s2<3 B．x＝5，s2>3
C．x>5，s2<3 D．x>5，s2>3
【解析】 由平均数和方差的计算公式可得x＝5，s2＝(3×8＋0)<3，故选A.
【答案】 A
12．圆O内有一内接正三角形，向圆O内随机投一点，则该点落在正三角形内的概率为( )
A. B．
C. D．
【解析】 设圆O的半径为r，则圆O内接正三角形的边长为r，设向圆O内随机投一点，则该点落在其内接正三角形内的事件为A，则P(A)＝＝＝.故选B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)．
13．合肥市环保总站发布2014年1月11日到1月20日的空气质量指数(AQI)，数据如下：153，203，268，166，157，164，268，407，335，119，则这组数据的中位数是________．
【解析】 将这10个数按照由小到大的顺序排列为119，153，157，164，166，203，268，268，335，407，第5和第6个数的平均数是＝184.5，即这组数据的中位数是184.5.
【答案】 184.5
14．某学校举行课外综合知识比赛，随机抽取400名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成五组．第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……；第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图4所示的频率分布直方图．则400名同学中成绩优秀(大于等于80分)的学生有________名．
图4
【解析】 成绩优秀的频率为1－(0.005＋0.025＋0.045)×10＝0.25，所以成绩优秀的学生有0.25×400＝100(名)．
【答案】 100
15．在由1，2，3，4，5组成可重复数字的二位数中任取一个数，如21，22等表示的数中只有一个偶数“2”，我们称这样的数只有一个偶数数字，则组成的二位数中只有一个偶数数字的概率为________．
【解析】 由1，2，3，4，5可组成的二位数有5×5＝25个，其中只有一个偶数数字的有14个，故只有一个偶数数字的概率为.
【答案】
16．执行如图5所示的程序框图，输出的a值为________．
图5
【解析】 由程序框图可知，第一次循环i＝2，a＝－2；第二次循环i＝3，a＝－；第三次循环i＝4，a＝；第四次循环i＝5，a＝3；第五次循环i＝6，a＝－2，所以周期为4，当i＝11时，循环结束，因为i＝11＝4×2＋3，所以输出a的值为－.
【答案】 －
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知算法如下所示：(这里S1，S2，…分别代表第一步，第二步，…)
(1)指出其功能；(用数学式子表达)
(2)画出该算法的算法框图．
S1 输入x.
S2 若x<－2，执行S3；否则，执行S6.
S3 y＝2x＋1.
S4 输出y.
S5 执行S12.
S6 若－2≤x<2，执行S7；否则执行S10.
S7 y＝x.
S8 输出y.
S9 执行S12.
S10 y＝2x－1.
S11 输出y.
S12 结束．
【解】 (1)该算法的功能是：已知x时，
求函数y＝的值．
(2)算法框图是：
18．(本小题满分12分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球，从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
【解】 记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.由题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．
(1)取出1球为红球或黑球的概率为：
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为：
法一：P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
法二：P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
19．(本小题满分12分)某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：
组号
分组
频数
频率
第1组
[50，60)
5
0.05
第2组
[60，70)
a
0.35
第3组
[70，80)
30
b
第4组
[80，90)
20
0.20
第5组
[90，100]
10
0.10
合计
100
1.00
(1)求a、b的值；
(2)若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率．
【解】 (1)a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30.
(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：×30＝3人，第4组：×20＝2人，第5组：×10＝1人，所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人．
设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4组被入选的有9种，
所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为＝.
20．(本题满分12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？
(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率. 【导学号：28750074】
【解】 (1)由于大于40岁的42人中有27人收看新闻节目，而20至40岁的58人中，只有18人收看新闻节目，故收看新闻节目的观众与年龄有关．
(2)27×＝3，所以大于40岁的观众应抽取3名．
(3)由题意知，设抽取的5名观众中，年龄在20岁至40岁的为a1，a2，大于40岁的为b1，b2，b3，从中随机取2名，基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共10个，设恰有一名观众年龄在20至40岁为事件A，则A中含有基本事件6个：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，
所以P(A)＝＝.
21．(本小题满分12分)
图6
某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测试，该班的A，B两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图6所示，其中B组一同学的分数已被污损，但知道B组学生的平均分比A组学生的平均分高1分．
(1)若在B组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；
(2)现从A组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m，n，求|m－n|≤8的概率．
【解】 (1)A组学生的平均分为＝85(分)，∴B组学生平均分为86分．
设被污损的分数为x，则＝86，解得x＝88，
∴B组学生的分数分别为93，91，88，83，75，其中有3人的分数超过85分．
∴在B组学生随机选1人，其所得分超过85分的概率为.
(2)A组学生的分数分别是94，88，86，80，77，
在A组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件(m，n)有(94，88)，(94，86)，(94，80)，(94，77)，(88，86)，(88，80)，(88，77)，(86，80)，(86，77)，(80，77)，共10个．
随机抽取2名同学的分数m，n满足|m－n|≤8的基本事件有(94，88)，(94，86)，(88，86)，(88，80)，(86，80)，(80，77)，共6个．
∴|m－n|≤8的概率为＝.
22．(本小题满分12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2006
2008
2010
2012
2014
需求量(万吨)
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y＝bx＋a；
(2)利用(1) 中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量．
【解】 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面求回归直线方程，为此对数据预处理如下：
年份－2010
－4
－2
0
2
4
需求量－257
－21
－11
0
19
29
对预处理后的数据，容易算得x＝0，y＝3.2，
b＝
∴a＝－b ＝3.2，
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
y－257＝b(x－2 010)＋a＝6.5(x－2 010)＋3.2，
即y＝6.5(x－2 010)＋260.2.①
(2)利用直线方程①，可预测2016年的粮食需求量为
6．5×(2 016－2 010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．