学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )
A．4 B.－4
C．5 D．－5
【解析】 ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.
∴k＝－5.
【答案】 D
2．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )
A.⊥ B.⊥
C.⊥ D.⊥
【解析】 由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．
【答案】 D
3．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )
A.，－，4 B.，－，4
C.，－2，4 D．4，，－15
【解析】 ∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，
又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥，
则解得
【答案】 B
4．已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为( )
A．(1，1，1)
B．(－1，－1，－1)或
C.
D．(1，1，1)或
【解析】 设D(x，y，z)，则＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(0，－1，1)．
又DB⊥AC⇔－x＋z＝0 ①，
DC⊥AB⇔－x＋y＝0 ②，
AD＝BC⇔(x－1)2＋y2＋z2＝2 ③，
联立①②③得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－，所以点D的坐标为(1，1，1)或.故选D.
【答案】 D
5．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是( )
A．圆 B．直线
C．平面 D．线段
【解析】 M构成的图形经过点A，且是以n为法向量的平面．
【答案】 C
二、填空题
6．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________. 【导学号：18490112】
【解析】 由题意知u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9.
【答案】 －9
7．已知a＝(x，2，－4)，b＝(－1，y，3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝________．
【解析】 由题意，知
解得x＝－64，y＝－26，z＝－17.
【答案】 (－64，－26，－17)
8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．
【解析】 ∵·＝0，·＝0，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．
又与不平行，
∴是平面ABCD的法向量，则③正确．
由于＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，
∴与不平行，故④错误．
【答案】 ①②③
三、解答题
9.如图3215，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.
图3215
【证明】 以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，F(，，1)，M.
所以＝，＝(0, ，1)，＝(，－，0)．
设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，
则n⊥，n⊥，
所以⇒
取y＝1，得x＝1，z＝－.
则n＝(1，1，－)．
因为＝.
所以n＝－ ，得n与共线．
所以AM⊥平面BDF.
10．底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.
【证明】 法一 设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E.
连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为.
因为＝(0，0，1)，＝，
所以＝.所以OE∥AS.
又因为AS⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD.
又因为OE⊂平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
法二 设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)，
因为＝(－1，1，0)，＝，
所以即
令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0)．
因为AS⊥平面ABCD，
所以平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0，0，1)．
因为n1·n2＝0，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
[能力提升]
1.如图3216，在正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
图3216
A．(1，－2，4)
B．(－4，1，－2)
C．(2，－2，1)
D．(1，2，－2)
【解析】 设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，
则A(1，0，0)，E，F.
故＝，＝.
所以
即所以
当z＝－2时，n＝(－4，1，－2)，故选B.
【答案】 B
2.如图3217，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是( )
图3217
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在DQ与平面A1BD垂直
【解析】 以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D，P(0，2，0)，＝(1，0，1)，＝，＝(－1，2，0)，＝.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2，1，－2)．假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，则＝＋＝，因为也是平面A1BD的法向量，所以n＝(2，1，－2)与＝共线，于是有＝＝＝成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ与平面A1BD垂直，故选D.
【答案】 D
3.如图3218，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系________．
图3218
【解析】 以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则E，F，∴＝，平面PBC的一个法向量n＝(0，1，1)，∵＝－n，
∴∥n，
∴EF⊥平面PBC.
【答案】 垂直
4．如图3219，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝AD.
图3219
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由. 【导学号：18490113】
【解】 因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设AD＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)．
(1)＝(0，0，1)，＝(1，1，0)，＝(－1，1，0)，
可得·＝0，·＝0，所以AP⊥CD，AC⊥CD.
又因为AP∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.
(2)设侧棱PA的中点是E，则E，＝.
设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则因为＝(－1，1，0)，＝(0，2，－1)，所以取x＝1，则y＝1，z＝2，所以平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，2)．
所以n·＝(1，1，2)·＝0，所以n⊥.
因为BE⊄平面PCD，所以BE∥平面PCD.
综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD.