(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(cos－sin)(cos＋sin)等于( )
A．－B．－C.D.
2．函数y＝sin·cos＋cos·sin的图象的一条对称轴方程是( )
A．x＝B．x＝C．x＝πD．x＝
3．已知sin(45°＋α)＝，则sin2α等于( )
A．－B．－C.D.
4．y＝sin－sin2x的一个单调递增区间是( )
A.B.
C.D.
5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sinθ＋cosθ能取得的值是( )
A. B. C. D.
6．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( )
A．－ B. C．－ D.
7．已知tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，则tan θ的值为( )
A. B．－ C．2 D.或－
8．函数y＝sin x－cos x的图象可以看成是由函数y＝sin x＋cos x的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是( )
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
9．设a＝sin17°cos45°＋cos17°sin45°，b＝2cos213°－1，c＝，则有( )
A．c
A.B．tan2αC.D．tanα
11．如图，角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴，终边经过点P(－3，－4)．角β的顶点在原点O，始边在x轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，且tanβ＝－2，则cos∠POQ的值为( )
A．－B．－
C.D.
12．设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．定义一种向量积：a⊗b＝(a1，a2)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动．且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值A及最小正周期T分别为( )
A．2，πB．2,4π
C.，4πD.，π
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.的值是________．
14．已知sinα＝cos2α，α∈(，π)，则tanα＝________.
15．函数y＝2sinx(sinx＋cosx)的最大值为________．
16．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<，π<β<.
求：tan(α＋β)及α＋β的值．
18．(12分)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.
(1)求f()的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
19．(12分)已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈，且a⊥b.
(1)求tanα的值；
(2)求cos的值．
20．(12分)已知函数f(x)＝2sin2－cos2x.
(1)求f(x)的周期和单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈上有解，求实数m的取值范围．
21．(12分)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．
22．(12分)已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.
(1)求sinα的值；(2)求β的值．
第三章 三角恒等变换(A)
答案
1．D [(cos－sin)(cos＋sin)＝cos2－sin2＝cos＝.]
2．C [y＝sin＝sin＝cosx，当x＝π时，y＝－1.]
3．B [sin(α＋45°)＝(sinα＋cosα)·＝，
∴sinα＋cosα＝.
两边平方，
∴1＋sin2α＝，∴sin2α＝－.]
4．B [y＝sin－sin2x＝sin2xcos－cos2xsin－sin2x＝－sin2x－cos2x
＝－sin
当x＝时，ymin＝－1；当x＝π时，ymax＝1，
且T＝π.故B项合适．]
5．A [∵0<θ<，∴θ＋∈，
又sinθ＋cosθ＝sin，
所以
＝sin(90°＋73°)sin(270°－47°)＋sin(180°＋73°)sin(360°－47°)
＝cos 73°(－cos 47°)－sin 73°(－sin 47°)
＝－(cos 73°cos 47°－sin 73°sin 47°)
＝－cos(73°＋47°)
＝－cos 120°＝.]
7．B [∵π<2θ<2π，∴<θ<π，
则tanθ<0，tan 2θ＝＝－2，
化简得tan2θ－tanθ－＝0，
解得tanθ＝－或tanθ＝(舍去)，
∴tanθ＝－.]
8．C [y＝sin x＋cos x＝sin
∴y＝sin x－cos x＝sin＝sin.]
9．A [a＝sin 62°，b＝cos 26°＝sin 64°，c＝sin 60°.
∵y＝sin x，x∈为递增函数，∴c
11．A
[tanβ＝tan(π－θ1)＝－tanθ1＝－2，
∴tanθ1＝2，tanθ2＝.
∴tan∠POQ＝＝－2，
∴<∠POQ<π.∴cos∠POQ＝－.]
12．C [＝m⊗＋n＝(2，)⊗(x，y)＋(，0)＝(2x＋，y)，则xQ＝2x＋，yQ＝y，所以x＝xQ－，y＝2yQ，所以y＝f(x)＝sin(x－)．所以最大值A＝，最小正周期T＝4π.]
13．1
解析 ∵＝＝tan45°＝1，∴＝1.
14．－
解析 ∵sinα＝cos2α＝1－2sin2α
∴2sin2α＋sinα－1＝0，∴sinα＝或－1.
∵<α<π，∴sinα＝，
∴α＝π，∴tanα＝－.
15.＋1
解析 y＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x＝sin(2x－)＋1，
∴ymax＝＋1.
16．1
解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)
∴cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ
∴cosα(sinβ＋cosβ)＝sinα(cosβ＋sinβ)
∵α、β均为锐角，
∴sinβ＋cosβ≠0，
∴cosα＝sinα，∴tanα＝1.
17．解 ∵tanα、tanβ为方程6x2－5x＋1＝0的两根，
∴tanα＋tanβ＝，tanαtanβ＝，
tan(α＋β)＝＝＝1.
∵0<α<，π<β<，
∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝.
18．解 (1)f()＝2cos＋sin2－4cos＝－1＋－2＝－.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3(cosx－)2－，x∈R.
因为cosx∈[－1,1]，
所以，当cosx＝－1时，f(x)取得最大值6；
当cosx＝时，f(x)取得最小值－.
19．解 (1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
而a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，
故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0.
由于cos α≠0，∴6tan2α＋5tan α－4＝0.
解之，得tan α＝－，或tan α＝.
∵α∈，tan α<0，故tan α＝(舍去)．
∴tan α＝－.
(2)∵α∈，∴∈.
由tan α＝－，求得tan ＝－或tan ＝2(舍去)．
∴sin ＝，cos ＝－，
cos＝cos cos －sin sin ＝－×－×＝－.
20．解 (1)f(x)＝2sin2－cos 2x
＝1－cos－cos 2x
＝1＋sin 2x－cos 2x
＝2sin＋1，
周期T＝π；2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
解得f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)x∈，所以2x－∈，
sin∈，
所以f(x)的值域为[2,3]．
而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，即m∈[0,1]．
21．解 (1)由f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1，得
f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin (2x＋)，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为f(x)＝2sin (2x＋)在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f(0)＝1，
f()＝2，f()＝－1，所以函数f(x)在区间[0，]上的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin (2x0＋)．
因为f(x0)＝，所以sin (2x0＋)＝.
由x0∈[，]，得2x0＋∈[，]，
从而cos(2x0＋)＝－＝－.
所以cos2x0＝cos[(2x0＋)－]＝cos(2x0＋)cos＋sin (2x0＋)sin＝.
22．解 (1)tanα＝＝，
所以＝.又因为sin2α＋cos2α＝1，
解得sinα＝.
(2)因为0<α<<β<π，所以0<β－α<π.
因为cos(β－α)＝，所以sin(β－α)＝.
所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝×＋×＝.
因为β∈，
所以β＝.