1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
课时目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求f(x)＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握y＝sinx，y＝cosx的周期性及奇偶性．
1．函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个______________，使得当x取定义域内的____________时，都有____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的__________________．
2．正弦函数、余弦函数的周期性
由sin(x＋2kπ)＝________，cos(x＋2kπ)＝________知y＝sinx与y＝cosx都是______函数，____________________都是它们的周期，且它们的最小正周期都是________．
3．正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数y＝sinx与余弦函数y＝cosx的定义域都是______，定义域关于________对称．
(2)由sin(－x)＝________知正弦函数y＝sinx是R上的______函数，它的图象关于______对称．
(3)由cos(－x)＝________知余弦函数y＝cosx是R上的______函数，它的图象关于______对称．
一、选择题
1．函数f(x)＝sin(－)，x∈R的最小正周期为( )
A.B．πC．2πD．4π
2．函数f(x)＝sin(ωx＋)的最小正周期为，其中ω>0，则ω等于( )
A．5B．10C．15D．20
3．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
4．下列函数中，不是周期函数的是( )
A．y＝|cosx|B．y＝cos|x|
C．y＝|sinx|D．y＝sin|x|
5．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f的值为( )
A．－B.C．－D.
6．函数y＝cos(sinx)的最小正周期是( )
A.B．πC．2πD．4π
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数f(x)＝sin(2πx＋)的最小正周期是________．
8．函数y＝sin的最小正周期是，则ω＝______.
9．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式是______________．
10．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
②不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；
③存在φ，使f(x)是奇函数；
④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．
其中的假命题的序号是________．
三、解答题
11．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝coscos(π＋x)；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝.
12．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈[0，]时，f(x)＝1－sinx，求当x∈[π，3π]时f(x)的解析式．
能力提升
13．欲使函数y＝Asinωx(A>0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是________．
14．判断函数f(x)＝ln(sinx＋)的奇偶性．
1．求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T.如y＝|sinx|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝.
2．判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
答案
知识梳理
1．(1)非零常数T 每一个值 f(x＋T)＝f(x) (2)最小正周期
2．sinx cosx 周期 2kπ (k∈Z且k≠0) 2π
3．(1)R 原点 (2)－sinx 奇 原点 (3)cosx 偶 y轴
作业设计
1．D 2.B
3．B [∵sin＝－sin＝－cos2x，
∴f(x)＝－cos2x.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos2x＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期为π的偶函数．]
4．D [画出y＝sin|x|的图象，易知．]
5．D [f＝f＝－f＝－sin＝sin＝.]
6．B [cos[sin(x＋π)]＝cos(－sin x)＝cos(sin x)．
∴T＝π.]
7．1
8．±3
解析 ＝，∴|ω|＝3，∴ω＝±3.
9．f(x)＝sin|x|
解析 当x<0时，－x>0，
f(－x)＝sin(－x)＝－sinx，
∵f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝－sinx.
∴f(x)＝sin|x|，x∈R.
10．①④
解析 易知②③成立，令φ＝，f(x)＝cosx是偶函数，①④都不成立．
11．解 (1)x∈R，f(x)＝coscos(π＋x)＝－sin2x·(－cosx)＝sin2xcosx.
∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin2xcosx＝－f(x)．
∴y＝f(x)是奇函数．
(2)对任意x∈R，－1≤sinx≤1，
∴1＋sinx≥0,1－sinx≥0.
∴f(x)＝＋定义域为R.
∵f(－x)＝＋＝＋＝f(x)，
∴y＝f(x)是偶函数．
(3)∵esinx－e－sinx≠0，∴sinx≠0，
∴x∈R且x≠kπ，k∈Z.
∴定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴该函数是奇函数．
12．解 x∈[π，3π]时，3π－x∈[0，]，
∵x∈[0，]时，f(x)＝1－sinx，
∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.
又∵f(x)是以π为周期的偶函数，
∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈[π，3π]．
13.π
解析 要使y在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，
则y在[0,1]上至少含49个周期，
即，解得ω≥π.
14．解 ∵sinx＋≥sinx＋1≥0，
若两处等号同时取到，则sinx＝0且sinx＝－1矛盾，
∴对x∈R都有sinx＋>0.
∵f(－x)＝ln(－sinx＋)
＝ln(－sinx)
＝ln(＋sinx)－1
＝－ln(sinx＋)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．