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课时提升作业(十六)
指数函数的图象及性质
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·开封高一检测)函数y=的定义域为( )
A.R B.(-∞,+∞)
C.(-∞,0) D.{x|x≠0,x∈R}
【解析】选D.因为2x-1≠0,所以x≠0.
2.(2015·延安高一检测)定义运算:a·b=则函数f(x)=1·2x的图象大致为 ( )
【解析】选A.f(x)=
【补偿训练】当a≠0时,函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是 ( )
【解题指南】从直线位置得出b与1的大小及a的正负,从而判断y=bax的增减性.
【解析】选A.选项A中,由直线位置可知a>0,0
A.(-1,0) B.(0,1) C.(-2,0) D.(0,2)
【解析】选B.由于函数y=(1-a)x是实数集R上的减函数,则有0<1-a<1,解得0
A.y= B.y=
C.y= D.y=
【解析】选D.y=中y>0且y≠1,y=中y可以为0,y=中y>1.
【补偿训练】设集合S={y|y=3x,x∈R},T={y|y=x2-1,x∈R},则S∩T是 ( )
A.∅ B.T C.S D.有限集
【解析】选C.因为S={y|y=3x,x∈R}={y|y>0},
T={y|y=x2-1,x∈R}={y|y≥-1},所以S∩T=S.
5.若函数f=ax-1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a等
于 ( )
A.1 B. C.1或 D.2
【解析】选B.由题意知或
解得a=.
【补偿训练】若函数y=ax(a>0且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则a= .
【解析】根据题意得a0+a1=3,解得a=2.
答案:2
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·衡阳高一检测)若函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指数函数,则a= .
【解析】由指数函数的定义得
解得a=1.
答案:1
【补偿训练】(2015·梅州高一检测)若函数f(x)=(a2-7a+11)(a-3)x是指数函数,则a的值为( )
A.2或5 B.5 C.2 D.-5
【解析】选B.根据指数函数的定义可得
解得a=5.
7.函数y=2ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象过定点 .
【解析】令x-2=0,解得x=2,则y=3,所以过定点(2,3).
答案:(2,3)
8.当x>0时,函数f(x)=的值总是大于1,则a的取值范围是 .
【解题指南】指数函数只有底数大于1时,才会有x>0时,函数值总大于1.
【解析】由题意知,a2-1>1,即a2>2,解得a>或a<-.
答案:a>或a<-
【补偿训练】当x<0时,函数y=(2a-1)x的值总小于1,则a的取值范围是 .
【解析】由题意,2a-1>1,所以a>1.
答案:a>1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.求下列函数的定义域和值域:
(1)y=-1.(2)y=.
【解析】(1)要使y=-1有意义,需x≠0,则>0且≠1,故-1>-1且-1≠0,故函数y=-1的定义域为,函数的值域为(-1,0)∪(0,+∞).
(2)函数y=的定义域为实数集R,由于2x2≥0,则2x2-2≥-2,故0<≤9,所以函数y=的值域为(0,9].
10.(2015·洛阳高一检测)已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,其中a>0且a≠1.
(1)求a的值.
(2)求函数y=f(x≥0)的值域.
【解析】(1)函数图象经过点,所以a2-1=,则a=.
(2)由(1)知函数为f(x)=(x≥0),由x≥0,得x-1≥-1.于是0<≤=2,所以函数的值域为(0,2].
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·南昌高一检测)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b均为常数,则下列结论正确的是 ( )
A.a>1,b>0
B.a>1,b<0
C.0
D.0
C.①③⑤ D.③④⑤
【解题指南】构造两个函数f(x)=2x和g(x)=3x,在同一坐标系内画出它们的图象,2a=3b,即f(a)=g(b),分析可得答案.
【解析】选B.令f(x)=2x和g(x)=3x,2a=3b,即f(a)=g(b),如图所示,由图象可知①②⑤正确.故选B.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·福州高一检测)已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1),经过点(-1,5),(0,4),则f(-2)的值为 .
【解析】由已知得解得
所以f(x)=+3,所以f(-2)=+3=4+3=7.
答案:7
【补偿训练】已知指数函数y=(2b-3)ax的图象经过点(1,2),则a= ,b= .
【解析】由于函数y=(2b-3)ax是指数函数,故2b-3=1,解得b=2,又图象经过点(1,2),将点(1,2)代入y=ax,可得a=2.
答案:2 2
4.函数y=(a>0,且a≠1)的定义域是(-∞,0],则实数a的取值范围为 .
【解析】由题意,当x≤0时,ax≥1,所以0
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.若y=(a-3)(a-2)x是指数函数,求函数f(x)=的定义域与值域.
【解题指南】由指数函数的定义求出a的值,再求函数f(x)的定义域与值域.
【解析】因为y=(a-3)(a-2)x是指数函数,
所以解得a=4,所以f(x)=,
由x+2≠0,得x≠-2,所以f(x)的定义域是
∪,
令t=,所以t≠0,即f(x)≠1,
所以f(x)的值域是∪.
6.已知函数f(x)=-1.
(1)作出f(x)的简图.
(2)若关于x的方程f(x)=3m有两个解,求m取值范围.
【解题指南】(1)由于f(x)=利用指数函数的图象即可得出.
(2)作出直线y=3m,利用函数y=f(x)与y=3m有两个交点即关于x的方程f(x)=3m有两个解.
【解析】(1)f(x)=如图所示.
(2)作出直线y=3m,当-1<3m<0时,即-
(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x)的图象.
(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值,从中你能得到什么结论?
【解析】(1)函数f(x),g(x)的图象如图所示:
(2)f(1)=31=3,g(-1)==3,
f(π)=3π,g(-π)==3π,
f(m)=3m,g(-m)==3m.
从以上计算的结果看,两个函数当自变量取值互为相反数时,其函数值相等,即当指数函数的底数互为倒数时,它们的图象关于y轴对称.
【拓展延伸】指数函数图象的记忆口诀
多个图形像束花,(0,1)这点把它扎.
撇增捺减无例外,底互倒时y轴夹.
x=1为判底线,交点纵标看小大.
重视数形结合法,横轴上面图象察.
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