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课时提升作业(十四)
双曲线方程及性质的应用
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.若ab≠0，则ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是下图中的 ( )
【解析】选C.方程可化为y=ax+b和+=1.从B，D中的两椭圆看a，b∈
(0，+∞)，但B中直线有a<0，b<0矛盾，应排除；D中直线有a<0，b>0矛盾，应排除；再看A中双曲线的a<0，b>0，但直线有a>0，b>0，也矛盾，应排除；C中双曲线的a>0，b<0和直线中a，b一致.
2.(2015·德化高二检测)直线y=k(x+)与双曲线-y2=1有且只有一个公共点，则k的不同取值有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.由已知可得，双曲线的渐近线方程为y=±x，顶点(±2，0)，而直线恒过(-，0)，故有两条与渐近线平行，有两条切线，共4条直线与双曲线有一个交点.
3.已知曲线-=1与直线x+y-1=0相交于P，Q两点，且·=0(O为原点)，则-的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.
【解析】选B.将y=1-x代入-=1，得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=.因为·=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1，所以-+1=0，即2a+2ab-2a+a-b=0，即b-a=2ab，所以-=2.
4.(2015·邢台高二检测)已知点F1，F2分别是双曲线-=1的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )
A.(+1，+∞) B.(1，)
C.(1，1+) D.(，+∞)
【解析】选C.如图所示.
由于∠F1AB=∠F1B A，
△ABF1为锐角三角形，故∠AF1B为锐角.故只需要
∠AF1F2<45°即可
即<1，所以=<1即c2-a2<2ac.
即e2-2e-1<0，解得1-
A.(1，) B.(，+∞)
C.(1，2) D.(2，+∞)
【解析】选D.设A(-c，y0)，代入双曲线方程得-=1，所以=.
所以|y0|=，
所以|AF|=.
因为△ABE是钝角三角形，所以∠AEF>45°.
则只需|AF|>|EF|，即>a+c，所以b2>a2+ac，
即c2-a2>a2+ac，c2-ac-2a2>0.
所以e2-e-2>0，解得e>2，e<-1(舍去).
5.(2015·天津高考)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆+y2=3相切，则双曲线的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-y2=1 D.x2-=1
【解析】选D.由双曲线的渐近线bx-ay=0与圆(x-2)2+y2=3相切可知=，又因为c==2，所以有a=1，b=，故双曲线的方程为x2-=1.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.双曲线中心在原点，一个焦点坐标为F(，0)，直线y=x-1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为-，则双曲线的方程为________.
【解析】由题意知中点坐标为，
设双曲线方程为-=1.
M(x1，y1)，N(x2，y2)，则-=1 ①，
-=1②，
①-②得=，即=·，
所以=，解得a2=2，
故双曲线方程为-=1.
答案：-=1
【拓展延伸】弦的中点及弦长问题的解决思路
(1)联立直线与双曲线方程.
(2)消元得关于x或y的一元二次方程.
(3)根的判别式、根与系数的关系.
(4)弦长问题、弦的中点问题的解决.
7.(2014·浙江高考)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m，0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是________.
【解题指南】求出A，B的坐标，写出AB中点Q的坐标，因为|PA|=|PB|，所以PQ与已知直线垂直，寻找a与c的关系.
【解析】由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为y=x与y=-x，分别与x-3y+m=0(m≠0)联立方程组，解得A，B，
设AB的中点为Q，则Q(，)，
因为|PA|=|PB|，所以PQ与已知直线垂直，所以kPQ=-3，解得2a2=8b2=8(c2-a2)，即=，=.
答案：
8.已知双曲线-=1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________.
【解析】由题意知F(4，0)，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，
当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知，-≤k≤.
答案：
【拓展延伸】数形结合思想在研究直线与双曲线问题中的应用
①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.
②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.双曲线-=1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点
(1，0)到直线l的距离与点(-1，0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线离心率e的取值范围.
【解析】由题意知直线l的方程为+=1，
即bx+ay-ab=0，
则+≥c，
整理得5ab≥2c2.
又因为c2=a2+b2，所以5ab≥2a2+2b2.
所以≤≤2.e==
所以≤e≤.
10.(2015·合肥高二检测)直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2-y2=1的右支交于不同的两点A，B.
(1)求实数k的取值范围.
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
【解题指南】(1)与右支交于两点，则联立直线与双曲线后得到的一元二次方程有两正根.
(2)以AB为直径的圆过点F则FA⊥FB.
【解析】(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0①，
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
所以
解得k的取值范围为{k|-2
则由①得x1+x2=，x1x2=，②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c，0)，
则由FA⊥FB，得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0.
即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.
整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+ c2+1=0，③
把②式及c=代入③式，
化简得5k2+2k-6=0.
解得k=-或k=∉(-2，-)(舍去).
可知存在k=-使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2015·朝阳高二检测)双曲线x2-y2=4左支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为,则a+b= ( )
A.-2 B.2 C.-4 D.4
【解析】选A.如图,双曲线-=1的左顶点(-2,0)到直线y=x的距离为,又因为点(a,b)为双曲线左支上的点,所以a=-2,b=0,所以a+b=-2.
【一题多解】由题意得
所以a+b=-2.
【补偿训练】已知双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为b2，则双曲线的离心率等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为A在以OF为直径的圆上，所以AO⊥AF，
所以AF：y=-(x-c)与y=x联立解得x=，y=，
因为△AOF的面积为b2，
所以·c·=b2，所以e=.
2.过双曲线-=1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为，这样的直线的条数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】选D.依题意可得右焦点F(5，0)，
所以垂直x轴，过F的直线是x=5.
代入-=1，求得y=±，
所以此时弦长=+=.
不是垂直x轴的，如果直线与双曲线有两个交点，则弦长一定比它长，所以这里只有一条，
因为两个顶点距离=4，即左右两支上的点最短是4，
所以如果是交于两支的话，弦长不可能为，所以只有1条.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2015·南昌高二检测)已知双曲线-=1(a>0，b>0)与直线y=2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是________.
【解析】双曲线的渐近线方程为y=±x.
若双曲线-=1与直线y=2x有交点，
则>2，从而>4.
所以>4，解得e2=>5，故e>.
答案：(，+∞)
4.(2015·重庆高考改编)双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点为F，左、右顶点为A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线斜率为__________.
【解析】由题意知F(c，0)，A1(-a，0)，A2(a，0)，其中c=.
联立
可解得B，C，
所以=，=，
又因为A1B⊥A2C，
所以·=(c+a)(c-a)-=0，
解得a=b，
所以该双曲线的渐近线斜率为±1.
答案：±1
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.(2015·黄石高二检测)已知双曲线3x2-y2=3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.
【解题指南】联立方程后根据两根的符号确定两个交点的位置.
【解析】因为a=1，b=，c=2，
又直线l过点F2(2，0)，且斜率k=tan 45°=1，
所以l的方程为y=x-2，
由
消去y并整理得2x2+4x-7=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为x1·x2=-<0，
所以A，B两点分别位于双曲线的左、右两支上.
因为x1+x2=-2，x1·x2=-，
所以|AB|=|x1-x2|
=·
=·=6.
6.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A，B两点.
(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值.
(2)是否存在这样的实数a，使A，B两点关于直线y=x对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)由消去y得，
(3-a2)x2-2ax-2=0. ①
依题意
即-
则
因为以AB为直径的圆过原点，
所以OA⊥OB.
x1x2+y1y2=0，但y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1，
由③④知，(a2+1)·+a·+1=0.
解得a=±1且满足②.
(2)假设存在实数a，使A，B关于y=x对称，则直线y=ax+1与y=x垂直，
所以a=-2.
直线l的方程为y=-2x+1.
将a=-2代入③得x1+x2=4.
所以AB中点横坐标为2，
纵坐标为y=-2×2+1=-3.
但AB中点(2，-3)不在直线y=x上.
即不存在实数a，使A，B关于直线y=x对称.
【补偿训练】已知双曲线的方程为x2-=1.
试问：是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在，请说明理由.
【解析】设被B(1，1)所平分的弦所在的直线方程为y=k(x-1)+1，代入双曲线方程x2-=1，得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0.
所以Δ=2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0.
解得k<，且x1+x2=.
因为B(1，1)是弦的中点，
所以=1，所以k=2>.
故不存在被点B(1，1)所平分的弦.
【一题多解】设存在被点B平分的弦MN，
设M(x1，y1)，N(x2，y2).
则x1+x2=2，y1+y2=2，且
①-②得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0.
所以kMN==2，故直线MN：y-1=2 (x-1).
由消去y得，2x2-4x+3=0，Δ=-8<0.
这说明直线MN与双曲线不相交，故被点B平分的弦不存在.
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