一、基础过关
1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是 ( )
①与已知条件矛盾 ②与假设矛盾 ③与定义、公理、定理矛盾 ④与事实矛盾
A．①② B．①③
C．①③④ D．①②③④
2．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为 ( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
3．有下列叙述：
①“a>b”的反面是“a
④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．
其中正确的叙述有 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为 ( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为 ( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都不是偶数
C．a，b，c中至多一个是偶数
D．至多有两个偶数
6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是___________________________．
7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为
__________________．
二、能力提升
8．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，试证：“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应为 ( )
A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn＋1
D．存在正整数n，使xn≤xn＋1
9．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
10．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．
11．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，
求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
12．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.
三、探究与拓展
13．已知函数f(x)＝ax＋ (a>1)，用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
答案
1．D 2．D 3．B 4．B 5．B
6．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
7．a，b不全为0
8．D 9．C
10．a≤－2或a≥－1
11．证明 假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，
所以(a＋b)(c＋d)＝1，
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd>1，这与上式相矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数．
12．证明 假设三个式子同时大于，
即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，
三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>，①
又因为0
①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．
13．证明 假设方程f(x)＝0有负数根，设为x0(x0≠－1)．则有x0<0，且f(x0)＝0.
∴ax0＋＝0⇔ax0＝－.
∵a>1，∴0