3．2.1 几类不同增长的函数模型
课时目标 1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型增长的含义.2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用.3.初步学会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．
1．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上
的增减性
________
________
________
图象的变化
随x的增大逐渐
变“________”
随x的增大逐渐
趋于______
随n值而不同
2.三种函数模型的增长速度比较
(1)对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于________的增长快于________的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有__________．
(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于____________的增长慢于________的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有______________．
一、选择题
1．今有一组数据如下：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.40
7.5
12
18.01
现准备了如下四个答案，哪个函数最接近这组数据( )
A．v＝log2tB．v＝
C．v＝D．v＝2t－2
2．从山顶到山下的招待所的距离为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )
3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数B．二次函数
C．指数型函数D．对数型函数
4．某自行车存车处在某天的存车量为4000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为( )
A．y＝0.2x(0≤x≤4000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4000)
C．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)
D．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)
5．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，则有( )
A．f(bx)≥f(cx) B．f(bx)≤f(cx)
C．f(bx)
A．45.606B．45.6
C．45.56D．45.51
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．
8．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是____________．
三、解答题
9．用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元)．又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型．
(1)当b＝，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型；
(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值．
10．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝ (t∈N)，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝－t＋(0≤t≤40，t∈N)．求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值．
能力提升
11．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时，比礼品价值为n元(n∈N*)时的销售量增加10%.
(1)写出礼品价值为n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；
(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．
12．已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有aL水，tmin后剩余的水符合指数衰减函数y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有L?
1．根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性，来确定适合题意的函数模型．
2．常见的函数模型及增长特点
(1)直线y＝kx＋b (k>0)模型，其增长特点是直线上升；
(2)对数y＝logax (a>1)模型，其增长缓慢；
(3)指数y＝ax (a>1)模型，其增长迅速．
3.2 函数模型及其应用
3．2.1 几类不同增长的函数模型
知识梳理
1．增函数 增函数 增函数 陡 稳定 2.(1)y＝ax y＝xn ax>xn (2)y＝logax y＝xn logax
1．C [将t的5个数值代入这四个函数，大体估算一下，很容易发现v＝的函数比较接近表中v的5个数值．]
2．C [由题意知s与t的函数关系为s＝20－4t，t∈[0,5]，所以函数的图象是下降的一段线段，故选C.]
3．D [由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢，只有对数函数的增长符合．]
4．C [由题意得：y＝0.2x＋0.3(4000－x)
＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)．]
5．B [由f(1＋x)＝f(1－x)，知对称轴＝1，b＝2.
由f(0)＝3，知c＝3.
此时f(x)＝x2－2x＋3.
当x<0时，3x<2x<1，
函数y＝f(x)在x∈(－∞，1)上是减函数，
f(bx)
当x>0时，3x>2x>1，
函数y＝f(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数，
f(bx)
6．B [设该公司在甲地销售x辆，
则在乙地销售(15－x)辆．
由题意可知所获利润l＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15(x－10.2)2＋45.606.
当x＝10时，lmax≈45.6(万元)．]
7．45
解析 设过n个3分钟后，该病毒占据64MB内存，则2×2n＝64×210＝216⇒n＝15，故时间为15×3＝45(分钟)．
8．80(1＋x)10
解析 一年后的价格为80＋80·x＝80(1＋x)．
二年后的价格为80(1＋x)＋80(1＋x)·x
＝80(1＋x)(1＋x)＝80(1＋x)2，
由此可推得10年后的价格为80(1＋x)10.
9．解 (1)b＝时，[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2
＝14(a－)2＋，
∴a＝时，f(x)＝x＋为最佳模型．
(2)f(x)＝＋，则y4＝f(4)＝.
10．解 据题意，商品的价格随时间t变化，且在不同的区间0≤t<20与20≤t≤40上，价格随时间t的变化的关系式也不同，故应分类讨论．设日销售额为F(t)．
①当0≤t<20，t∈N时，
F(t)＝(t＋11)(－t＋)
＝－(t－)2＋(＋946)，
故当t＝10或11时，F(t)max＝176.
②当20≤t≤40时，t∈N时，
F(t)＝(－t＋41)(－t＋)＝(t－42)2－，
故当t＝20时，F(t)max＝161.
综合①、②知当t＝10或11时，日销售额最大，最大值为176.
11．解 (1)设未赠礼品时的销售量为m，
则当礼品价值为n元时，销售量为m(1＋10%)n.
利润yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n
＝(20－n)m×1.1n (0
即(19－n)m×1.1n＋1－(20－n)m×1.1n≥0.
解得n≤9，
所以y1
即(19－n)m×1.1n＋1－(18－n)m×1.1n＋2≥0，
解得n≥8.
所以y9＝y10>y11>…>y19.
所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．
12．解 由题意得ae－5n＝a－a·e－5n，
即e－5n＝.①
设再过tmin后桶1中的水有L，
则ae－n(t＋5)＝，e－n(t＋5)＝.②
将①式平方得e－10n＝.③
比较②、③得－n(t＋5)＝－10n，∴t＝5.
即再过5min后桶1中的水只有L.